Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）满足f(0)=0，对于任意x∈R都有f(x)≥x，且f(-1/2+x)=f(-1/2-x)，

令g(x)=f(x)-|λx-1|(λ>0)。研究函数g(x)在区间 （0,1）上的零点个数。

Answer 1

f(0)=c=0
f(x)=ax^2+bx
f(-1/2+x)=f(-1/2-x)，所以f(x)关于直线x=-1/2对称，-b/2a=-1/2，a=b
f(x)=ax^2+ax,
又因为f(x)-x=ax^2+(a-1)x恒大于等于0
所以a>0,（a-1)^2-4a*0≤0，所以a=1，f(x)=x^2+x
函数g(x)=f(x)-|λx-1|在区间 （0,1）上的零点个数就等价于y=f(x)与y=|λx-1|交点的个数
画出f（x）图像
1)λ>1: y=|λx-1|与x轴的交点为（1/λ，0）（在（0,1）内）
从图中易知y=-（λx-1）与f（x）有一个交点，
而y=λx-1的交点需要另行判断
首先求出y=λx-1与f（x)相切时的λ,即x^2+x=λx-1有等根，x^2+(1-λ)x+1=0
(1-λ)^2-4=0,λ=-1(舍)λ=3,切点为（1,2）
所以当λ>3,有三个交点，但有一交点横坐标不在（0,1）所以2个
λ=3,有两个交点，但该点（1,2）舍，只有1个。
1<λ<3,有1个交点
2）λ=1，1个交点,
3）0<λ<1,1个交点
综上所述：函数g(x)在区间 （0,1）上的零点个数
所以当λ>3,有2个零点，
1<λ≤3,有1个零点