Question

求证命题的真假性。 若a＋b＋c＝3，则a²＋b²＋c²≧3的逆否命题。

这道题是一道填空判断题里面的的一个小题而已，应该挺简单的，可是我论证的过程很复杂，求助于各位大神，谢谢😊

Answer 1

若a＋b＋c＝3，则a²＋b²＋c²≥3
它的逆否命题是：若a²＋b²＋c²＜3，则a＋b＋c≠3

下面证明原命题成立

由均值不等式，有
(a+b+c)/3≤³√[(a²+b²+c²)/3]
∴(a+b+c)/3=3/3=1≤³√[(a²+b²+c²)/3]
∴a²＋b²＋c²≥3
∵原命题成立
∴它的逆否命题成立

望采纳，谢谢O(∩_∩)O

Answer 2

命题：A则B，
逆命题：B则A，
否命题：非A则非B，
逆否命题：非B则非A。
命题的否定：A则非B。

对于本题，逆否命题为
a²+b²+c²<3,则a+b+c≠3。
为真命题。
实际上可以证：
a²+b²+c²<3,则a+b+c<3。
证：当a=b=c=1时，有 a²+b²+c²=3,为f(a，b，c)∥ (a+b+c=3)的最小值，亦即a=b=c=1,a+b+c=3为(a+ b+ c)∥(f(a，b，c)=3)的最大值。
当 即a=b=c=(k/3)½时,a+b+c=3×(k/3)½为(a+ b+ c)∥(f(a，b，c)=k)的最大值。
当k<3时， a+b+c=3×(k/3)½<3，
即 a+b+c≠3。

Answer 3

啥叫逆否命题