Question

f(x)在[0,1]上连续，平面区域D：0≤x≤y≤1,证明二重积分f(x)f(y)dxdy=1/2[ ∫[0,1]f(x)d(x)]^2

Answer 1

如图所示：

追问

轮换对称性不是交换x，y后积分区域不变吗。交换后不就变成y≤x了吗。
还有能不能解释下你写的从倒数第三行到倒数第二行是怎么来的。。谢谢

追答

先后两个积分分别代表A1和A2两个区域

而倒数第二行的区域是个矩形，正是A1和A2加起来的结果

这个图形是关于y = x对称的，更换积分次序后变量只是关于镜子y = x做一次反射

例如1 + 3 = 3 + 1一样等于4，2 * 5 = 5 * 2一样等于10，这是交换律

追问

感觉你说的还是有点抽象，二重积分代表不是曲面梯形的体积吗，原题可以看做z=f(x)f(y)在A1上的梯形体积，当用轮换对称性把x，y互换后，感觉不能保证在A2上的曲面与在A1上的曲面一样，体积也不一样。就算他们俩是一样的，从

到

也还是不好理解，，，能再详细说一下嘛。或者留个qq，可以不大哥。。

追答

来高数吧提问吧

都说了他们是对称的，从f(x)f(y)=f(y)f(x)开始
这个不是把f(x)*f(y)换成f(y)*f(x)，而是把x换成y，y换成x代入得出的结果
所以z=f(x)f(y)在A1和A2上的体积是对称的，是关于镜面y=x反射的

若被积函数改为f(x)g(y)的话，这个规则就未必成立了