Question

已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于的E，AD垂直EC于点D且 交圆O于点F，连接BC，CF，AC

已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于的E，AD垂直EC于点D且
交圆O于点F，连接BC，CF，AC
（1） 求证；BC=CF
（2）若AD=6，DE=8，求BE的长
（3）求证 AF+2DF=AB

解题原因

Answer 1

①连接OF,OC
OC⊥DE(C点为直线DE和圆O的切点)
OC//AD
∠COB=∠FAO
∠AFO=∠COF
∠COF=∠COB
CO=BO=FO
⊿OCF≌⊿OCB
BC=CF
②
AD=6.DE=8
AE=10
BE=AE-AB
设半径为r,BE=x
sin∠COB=8/10=4/5=sin∠DAE
cos∠COB=6/10=3/5=OC/OE=r/(r+x)
2r=3x
2r+x=10
x=5/2
③做辅助线CG⊥AB，
G点在AB上
∠DCF=∠GCB
BC=CF
∠D=∠CGB=90º
⊿CGB≌⊿CDF
BG=DF
⊿ADC≌⊿AGC
AD=AG
AB=AG+GB=AD+DF=AF+DF+DF=AF+2DF

Answer 2

(1) 弦切角ADC所夹的圆弧为AFD，圆周角ABC所对的圆弧也是AFD
所以∠ADC=∠ABC，因此直角三角形ADC和直角三角形ABC相似
故∠DAC=∠BAC => BC=CF
(2) CE/AE=BC/AC=DC/AD
所以DC/CE=AD/AE=3/5，而DC+CE=DE=8
=> DC=3， CE=5

=> BE=CE*CE/AE=5/2
(3) 过C点作CG垂直AB于G
由角平分线定理知DC=CG，从而证明直角三角形CDF和直角三角形CGB全等
=> DF=GB

所以AB=AG+GB=AD+DF=AF+DF+DF=AF+2DF

Answer 3

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Answer 4

有图不？？