Question

求一道数列题解答

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn,(1)若首项为1.5，公差为1，求满足Sk2=(Sk)2的正整数k,（2）求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数k都有Sk2=（Sk）2成立

Answer 1

(1)an=n+1/2
Sn=n(n+1)/2+n/2=(n^2+2n)/2
令S(k^2)=(Sk)^2，即(k^4+2k^2)/2=(k^4+4k^3+4k^2)/4
即k^4-4k^3=0
所以k=4
(2)可设Sn=pn^2+qn
所以S(k^2)=pk^4+qk^2
(Sk)^2=p^2k^4+2pqk^3+q^2k^2
因此有p=p^2,2pq=0,q=q^2
得p=1,q=0或p=0,q=1
即Sn=n^2或Sn=n
所以an=2n-1或an=1