Question

偏导数有什么用

Answer 1

解答：

笼统来说，导数具有什么作用，偏导数就具有什么作用。
偏导数的功用比导数还要有更多的应用价值。

下面略微详细地解说一下。

一、导数的概念：

在英国，导数喜欢用 differentiation；
在美国，导数喜欢用 derivative。意义上没有差别。

求导： 都是 differentiate；
可导、可微： 都是 differentiable；
可导性、可微性：都是 differentiability 。

导数 dy/dx，在几何图形上，是斜率的意思。是 y 随着 x 的变化而变化的“比率”；
导数 dy/dt，在运动学上，是速度的意思，是 y 随着时间 t 的变化而变化的“比率”；
导数 dx/dt，在运动学上，是速度的意思，是 x 随着时间 t 的变化而变化的“比率”。

dy/dx，读成 d y over dx；dy/dt，读成 d y over d t (d x d y d t 都按字母读)
国内的普遍嗜好是，将 dy/dx 写成 y‘，读成 y prime。

上面是按符号读音，出题时，不是 find the dy/dx，就是 differentiate with respect to x
= 对 x 求导，缩写是 differentiate y w.r.t. x. = 求 y 对 x 的导数。

在中文中，导数有两个含混不清的意思：
1、函数的导函数，这是一个新的函数；
2、函数在某点的斜率的值，或导函数在某点的具体值，是一个具体的数字。

二、偏导数的概念：

前面讲的是一元函数的求导，导数就是函数随着自变量的变化而变化的“变化率”。
dy/dx 是 rate of change of y with respect to x；
dy/dt 是 rate of change of y with respect to t。

通常，我们习惯于将 Rate of change = Related rate of change = 相关变化率
用于对时间 t 求导。

当一个函数有两个或两个以上的各自独立的自变量时，如 u = f(x, y, z)，
x, y, z 各自的变化都会引起 u 的变化。
∂u/∂x：表示由于 x 的单独变化所引起的 u 变化率(rate of change)；

在空间几何上，表示 u 沿着 x 方向的导数，也就是斜率；
也就是在平行于 y-z 的所有平面上看函数 u(x,y,z) 随着x变化的规律。
在意义上等同于 dy/dx；
由于有几个自变量，为了与一元函数做出区别，把 dy/dx 写成了 ∂u/∂x；
∂u/∂x 读成 partial u over partial x，整体意义是 partial differentiation w.r.t. x。
对 x 求偏导时，将 y、z 当作常数。
可以理解成局部变化率，部分变化率，也就是只随着一个变量的变化率。
∂u/∂y、∂u/∂z：类推。

三、全导数的概念：

沿着空间任意一个方向(l 方向)的导数，称为全导数 = total differentiation。
它是在 l 方向上 由 x、y、z 一起变化，整体(over all)引起 z 的变化：
dz = (∂u/∂x) dx + (∂u/∂y) dy + (∂u/∂z) dz 这就是全微分的标准形式。

四、偏导数的应用：

偏导数的应用及其广泛，有了上面的共同语言， 下面以理想气体状态方程
(State equation of ideal gas)为例说明偏导数的运用。

PV = nRT

P：压强；V：体积；T：绝对温度；这三个都是状态量(State Property)。
n：No of moles = 摩尔数；R ：Gas constant = 气体常数。

∂V/∂P ： 体积随着压强的变化率；
(1/V)∂V/∂P：> 0 时，是 Expansivity = 体积膨胀率；
< 0 时，是 Comprssibility = 体积的压缩率。

∂T/∂P： Joule-Thomson coefficient = 焦耳-汤姆孙温压系数
= 压强增加引起升温的比率、变化率。

∂H/∂T： Heat capacity at constant pressure = 等压热容量；
H = Enthalpy = 焓。

∂U/∂T： Heat capacity at constant Volume = 等容热容量；
U = Internal Energy = 内能。

不知道，楼主有没有被搞迷糊了？

总而言之：

偏导数是用来计算局部原因变化所引起的函数的变化率；
∂u/∂x 是由 x 的单独变化，引起的 u 的绝对变化率；

(1/u)∂u/∂x 是由 x 的单独变化，引起的 u 的相对变化率。
∂u/∂y 是由 y 的单独变化，引起的 u 的绝对变化率；
(1/u)∂u/∂y 是由 y 的单独变化，引起的 u 的相对变化率。
针对具体的物理过程、化学工程，有具体的名称。

∂u/∂x 是由 x 的单独变化，引起的 u 的变化率；