Question

求不定积分∫(4-x^2)^(1/2)dx= ∫(4+x^2)^(1/2)dx= ∫(x^2-4)^(1/2)dx= ∫x*[(x^2-4)^(1/2)]dx=

Answer 1

令x = 2siny，dx = 2cosy dy
∫ √(4 - x²) dx = ∫ 4cos²y dy = ∫ 2(1 + cos2y) dy = 2y + 2sinycosy + C
= 2arcsin(x/2) + 2 • x/2 • √(4 - x²)/2 + C
= 2arcsin(x/2) + (x/2)√(4 - x²) + C

令x = 2tany，dx = 2sec²y dy
∫ √(4 + x²) dx = ∫ 4sec³y dy = 2secytany + 2ln|secy + tany| + C
= 2 • x/2 • √(4 + x²)/2 + 2ln|x/2 + √(4 + x²)/2| + C
= (x/2)√(4 + x²) + 2ln|x + √(4 + x²)| + C

令x = 2secy，dx = 2secytany dy，假设x > 2
∫ √(x² - 4) dx = ∫ 4secytan²y dy = ∫ 4secy(sec²y - 1) dy = ∫ (4sec³y - 4secy) dy
= 2secytany + 2ln|secy + tany| - 4ln|secy + tany| + C
= 2 • x/2 • √(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C
= (x/2)√(x² - 4) - 2ln|x + √(x² - 4)| + C

∫ x√(x² - 4) dx = (1/2)∫ √(x² - 4) d(x² - 4) = (1/3)(x² - 4)^(3/2) + C

追问

不好意思，= ∫ 2(1 + cos2y) dy = 2y + 2sinycosy + C这个化的有问题吧？？第二、三个也有问题吧？？第四个我看着没问题，是对的~~~

追答

全部都经过数学软件验算过没问题，有也只是你不懂其中的步骤，请指出。

追问

1. = ∫ 2(1 + cos2y) dy 为什么= 2y + 2sinycosy + C

2.为什么代这个x = 2tany进去，就得出此结果2.= 2 • x/2 • √(4 + x²)/2 + 2ln|x/2 + √(4 + x²)/2| + C了哦？

3.也是和2的问题一样，为什么代x = 2secy进去，就得出= 2 • x/2 • √(x² - 4)/2 - 2ln|x/2 + √(x² - 4)/2| + C哦？？

你能把代进去的过程给我看下吗，还有对不起哦，我没看懂就说你错，不好意思哦~~~

追答

1、
2(1 + cos2y) = 2 + 2cos2y
2的积分是2y，而∫ cos2y dy = ∫ cos2y d(2y)/2 = (1/2)sin2y，所以2cos2y的积分是sin2y = 2sinycosy

2、
对于一切如√(a² + x²)这类型的被积函数，都用换元x = a • tanθ，这里的a是2
因为√(a² + x²) = √(a² + a²tan²θ) = √[a²(1 + tan²θ)] = asecθ，其中1 + tan²θ = sec²θ
如果也如求一个普通的三角函数积分而已，∫ sec³x dx的求法不多说了，百度一下多的是
而tany = x/2，siny = x/√(4 + x²)，cosy = a/√(4 + x²)，secy = 1/cosy = √(4 + x²)/2
这画个直角三角形就容易理解了
全部都代入最后的结果2secytany + 2ln|secy + tany| + C中就得到答案了

3、
对于一切如√(x² - a²)的类型都用x = a • secθ，则√(x² - a²) = √(a²sec²θ - a²) = √[a²(sec²θ - 1)]
= ± atanθ，对于x > a，√(x² - a²) = atanθ
由于secy = x/2，cosy = 2/x，siny = √(1 - cos²y) = √(1 - 4/x²) = √(x² - 4)/x
tany = siny/cosy = √(x² - 4)/2
∫ sec³x dx的求法自己搜索吧

追问

2.= 2 • x/2 • √(4 + x²)/2 + "2ln|x/2 + √(4 + x²)/2|" + C
= (x/2)√(4 + x²) + " 2ln|x + √(4 + x²)| " + C

3.= 2 • x/2 • √(x² - 4)/2 - "2ln|x/2 + √(x² - 4)/2|" + C
= (x/2)√(x² - 4) - "2ln|x + √(x² - 4)| "
请问下我加引号的地方的除以2为什么没出现在结果中哦？？？

追答

不定积分中的常数项只有一个,如果多于一个的话可以将它们组起来的.
2 • x/2 • √(4 + x²)/2 + 2ln|x/2 + √(4 + x²)/2| + C
= 2 • x/2 • √(4 + x²)/2 + 2ln|[x + √(4 + x²)]/2| + C
= 2 • x/2 • √(4 + x²)/2 + 2ln|x + √(4 + x²)| - 2ln2 + C
= 2 • x/2 • √(4 + x²)/2 + 2ln|x + √(4 + x²)| + C'
C' = C - 2ln2