Question

如图，在△ABC中AB=AC,∠BAC=90°,D为BC上一动点,连接AD以AD为一边且在AD的右侧做正方形ADEF，CF交DE与点P

①

若AC=4根号2，CD=2，求线段CP的长

Answer 1

CP=1
先看图（或者自己再画一个图，但要绝对标准）你会发现CP和BC貌似是垂直的，没错，他俩的确是垂直的。先证明它们垂直，再利用全等与相似，就很好解决了
由已知有：BC=8，∠ABD=∠BCA=45°,AD=AF=DE
∵∠DAC=∠CDA
∴∠CAF=∠BAD
又AD=AF,AB=AC
∴△ABD≌△ACF（边角边）
所以∠ABD=∠FCA=45°
又∠BCA=45°
∴∠PCD=90°
∴PC⊥AC
过A做AM⊥BD交BD与M，则AM=CM=4，D是MD中点
过E做EN⊥BD交BD延长线于N
∵AM⊥BD,EN⊥BN，∴△AMD和△DEN是Rt△
又AD=DE
∴Rt△AMD≌Rt△DEN （H.L）
∴EN=DM=2，DN=AM=4
又DC=2
∴C是DN中点且CP⊥BN
故CP=EN/2=1

PS：纯手打

Answer 2

解答过程如下：
首先，在△ADC中，由余弦定理，可知AD=2根号5
又因为图中两个红色三角形全等，就知道AF=AD=2根号5，BD=CF=6
而在△AFC中由两次余弦定理，分别得到∠CAF和∠CFA的余弦值
因为∠DAC+∠CAF=90°，∠CFE+∠CFA=90°
由三角函数的关系，可知道∠DAC和∠CFE的正弦值（其实就是上面求的余弦值）
然后折算成正切值（画一个三角形，正弦值分子为一条直角边，分母为斜边，求出另一条直角边，然后算正切）
设CA和DE交于K点，则分别在△ADK和△FPE中，可求出DK和EP
接下来用DE（2根号5）减去两段，得KP
然后因为△CPK∽△CAF，由对应比例关系，可求得CP
注：上述步骤有些没算，希望自己体验一下，答案最终是CP=1，像那个正弦值一个是十分之根号十，一个是五分之根号五，希望自己去算一下~感谢你的问题~Alex

Answer 3

建议可以建立一个坐标系去解，用余弦定理逐步把个点的坐标都解出来，然后就慢慢做吧。