Question

已知F1、F2分别是椭圆X²/8+Y²/4=1的左、右焦点

已知F1、F2分别是椭圆X²/8+Y²/4=1的左、右焦点, 点P是椭圆上的任意一点, 则|PF1-PF2|/PF1的取值范围是

Answer 1

易知a=2√2，b=2，c=2

显然|PF1-PF2|/PF1≥0
当且仅当PF1=PF2时（即P在短轴顶点时）取得最小值0

由椭圆定义知PF1+PF2=2a
即PF2=2a-PF1=4√2-PF1
于是|PF1-PF2|/PF1=|2-4√2/PF1|
又因a-c≤PF1≤a+c
即2√2-2≤PF1≤2√2+2
令y=|2-4√2/x|（2√2-2≤x≤2√2+2）
则当2√2-2≤x≤2√2时，y=4√2/x-2
显然此时y为减函数，ymax1=4√2/(2√2-2)-2=2√2+2
当2√2≤x≤2√2+2时，y=2-4√2/x
显然此时y为增函数，ymax2=2-4√2/(2√2+2)=2√2-2
所以ymax=max{ymax1,ymax2}=2√2+2

综上知0≤|PF1-PF2|/PF1≤2√2+2