Question

已知数列{an}满足a1=5/6,an+1=1/3an+(1/2)^(n+1),求an。求详细一点

Answer 1

∵a(n+1)=1/3an+(1/2)^(n+1)=1/3an+1/2*(1/2)^n
【令a(n+1)+x*(1/2)^(n+1)=1/3[an+x*(1/2)^n]
∴a(n+1)=1/3an+(x/3- x/2)2^n=1/3an-x/6*(1/2)^n
∴-x/6=1/2 ∴x=-3这是探求过程，可以不写】

∴a(n+1)-3*(1/2)^(n+1)=1/3[an-3(1/2)^n]
∴[a(n+1)-3*(1/2)^(n+1)]/[an-3(1/2)^n]=1/3
那么{an-3*(1/2)^n}为等比数列，公比为1/3
a1=5/6,a1-3/2=-2/3
∴an-3*(1/2)^n=-2/3*(1/3)^(n-1)=-2/3ⁿ
∴an=3/2ⁿ-2/3ⁿ

Answer 2

两边同乘以2^(n+1)得：2^(n+1)an+1=(2/3)2^n an+1
待定系数法：2^(n+1)an+1+A=(2/3)(2^n an+A)
解得：A=-3
因此数列{2^n an-3}是以2/3为公比的等差数列
2^n an-3=-2 (2/3)^n

所以an=3/(2^n) -2/(3^n )

Answer 3

利用构造法求解