Question

设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)

设椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx（k>0）与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点。求四边形AEBF面积最大值
求详解，，，，，，，，，，，

Answer 1

由椭圆中心在坐标原点,A(2,0) B(0,1)是它的两个顶点，
得椭圆方程为：x²/4 +y²=1.
与直线方程y=kx（k>0）联立，解得交点坐标

E（ -2/√(1+4k²)，-2k/√(1+4k²) ）

F（ 2/√(1+4k²)，2k/√(1+4k²) ）
所以，

S(AEBF)

=S(△AEO)+S(△AFO)+S(△BEO)+S(△BFO)
=4k/√(1+4k²)+2/√(1+4k²)
=2(1+2k)/√(1+4k²),
设k=(tanα)/2，(0<α<π/2)
则

S(AEBF)

=2(1+tanα)cosα

=2(cosα+sinα)

=2√2sin(α+π/4),
所以，当α=π/4、即k=1/2时，

S有最大值=2√2

所以，四边形AEBF面积最大值为2√2

追问

为什么将k设为(tanα)/2呢 tanα不行吗

追答

S(AEBF)=2(1+2k)/√(1+4k²),
将k设为(tanα)/2可以将k前面的系数消掉，便于计算
设成tanα也可以，不过算起来很麻烦。