Question

求数学大神解答，急急急

已知函数f(x)=a/x-lnx⑴若f(x)在x=1处取得极值，求实数a的值⑵若f(x)≥5-3x恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)既然说到极值，必然先想到导数为0，那就求导，f'(x)=-a/x^2-1/x，x=1时f'(x)=0，所以a=-1，经检验x<1与x>1导数正负不同，所以a=-1
（2）题目要求恒成立，对于这种问题，分离变量把a与x放在不等号两端，然后在X的定义域内求a范围，因为x>0，所以a>=5x-3x^2+xlnx，记g(x)=5x-3x^2+xlnx，恒成立所以a大于等于g(x)最大值，则g'(x)=6-6x+lnx，g"(x)=-6+1/x，可知g(x)趋势为减增减，最大值位于增与第二个减交点即x=1，所以g(x)<=2，所以a>=2.

Answer 2

解(1)、取极值即一阶导数取极大值或极小值
又因为 f'(x) = -(a/x^2 + 1/x)
令f'(x)=0，解得：
x=-a为极值点，题设中提到x=1处取极值
故a=-1；
(2)、f(x)>=5-3x恒成立，意味着求f(x)-5+3x>=0的解为(负无穷 正无穷)
即函数的最小值大于0，
令H(x)=f(x)-5+3x=a/x-lnx-5+3x;
H'(x)=(3x^2-x-a)/x^2,令H'(x)=0得：x=(1+根号(12a+1))/6或x=(1-根号(12a+1))/6取极值
根据二次曲线判断，当x=(1+根号(12a+1))/6时取最小值，故问题转换成如下表达式：
a/x-lnx+3x-5>=0
(将x带入，接下来自己求解a的范围即可)

Answer 3

大于或等于3