Question

一水池装有甲丙两根进水管和乙丁两根出水管，单开一管注满水池，甲要3小时，丙要5小时；要排完一池水，

单开一管，乙要4小时，丁要6小时。现在池内有六分之一池水，如果按甲乙丙丁的顺序依次轮流各开1小时的方式，多少小时后，水开始溢出水池？

Answer 1

假设水池体积为V，甲流速为v甲，V＝3*v甲，V＝4*v乙＝5v丙=6v丁
可以推出，v乙=3/4 v甲 v丙=3/5 v甲 v丁=3/6 v甲
水池中有水1/6，即1/6 V=1/6*3*v甲 如果想加水到溢出，即要超过V，也就是超过3v甲
可以推出如下的式子：1/6*3*v甲+(1*v甲-1*v乙+1*v丙-1*v丁)*n >= 3* v甲 ， 当n使体积超过3v甲时，水溢出。先不考虑四阀开的过程中，水溢出的情况.
在本式中，1*v甲-1*3/4 v甲+1*3/5 v甲-1*3/6 v甲 为一次进水循环
以上公式全部用v甲表示可得：
1/6*3*v甲+(1*v甲-1*3/4 v甲+1*3/5 v甲-1*3/6 v甲）*n >= 3* v甲 两边把v甲约掉，可以得到一个式子
3/6+(1-3/4+3/5-3/6)*n >= 3
如果直接算n的话，n=6的时候，式左边为62/20 ，大于3的，n第6轮会溢出。具体的，n=5的时候，式左边为55/20，第六轮甲再开5/20小时，即15分钟，就可以将水加满。但是这个结果可能是有问题的，我们需要考虑之前过程中溢出的情况。
可以看一下这个循环过程，先进水1，再排水3/4，再进水3/5，这时3/5<3/4，也就是说甲开过之后，乙使水量减少，丙使水增加，但是不会超过乙减少的量，即不会比甲多，丁再减少。这个意思就是指甲进水到达的水位，是这一循环中最高的水位了。所以我们只要考虑甲的进水水位就知道第6轮之前是否溢出。
先看一下第四轮结束时：n=4，括号内的数值是7/20，即1/2+7/20*4=48/20，即下一轮甲进水12/20就会超过3，会溢出，即四阀开四遍，甲再开36分钟，会溢出。
再看一下第三轮结束时的情况：n=3，式左边为41/20，下一轮甲再开19/20小时，会溢出，三轮再加甲即57分钟。
再看一下第二轮的情况：n=2，式左边为34/20，下一轮甲再开1小时，只能达到54/20，不会溢出
所以答案为开三轮甲再开57分钟，即12小时57分钟。

方法可能比较笨，希望可以帮到你。如果更有好的答案我会关注的^^

Answer 2

• 原来有1/6

• 按甲乙丙丁的顺序依次轮流各开1小时，1个周期，即4小时，1/3-1/4+1/5-1/6=7/60

• 7个周期，即28小时，7*7/60=49/60，现在池里有1/6+49/60=59/60

• 该轮到甲注入（1-59/60=1/60），（1/60)/(1/3)=1/20小时=0.05小时

• 共需要28+0.05=28.05小时，水开始溢出水池。