Question

若函数f（x）=|x-a|+|x+1|。（1）当a=2时，求不等式f（x）小于等于5的解集；

若函数f（x）=|x-a|+|x+1|。（1）当a=2时，求不等式f（x）小于等于5的解集；
若函数f（x）=|x-a|+|x+1|。（1）当a=2时，求不等式f（x）小于等于5的解集；（2）若不等式f（x）大于等于-x方+2x+2恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

（1）当a=2时,f(x)=|x-2|+|x+1|

f(x)=2-x-x-1=1-2x x≤-1

f(x)=2-x+x+1=3     -1≤x≤2

f(x)=x-2+x+1=2x-1 x≥2

第一段：1-2x≤5→-2≤x≤-1

第二段：恒成立    -1≤x≤2

第三段：2x-1≤5  2≤x≤3

∴解集为：x∈[-2,3]

(2)a≤-1

f(x)=a-x-x-1=-2x+a-1 x≤a

f(x)=x-a-x-1=-a-1   a≤x≤-1

f(x)=x-a+x+1=2x-a+1 x≥-1

令g(x)=-2x+a-1+x²-2x-2=x²-4x+a-3=(x-2)²+a-7     x≤a≤-1   ①

   g(x)=-a-1+x²-2x-2=x²-2x-a-3=(x-1)²-a-4              a≤x≤-1   ②

   g(x)=2x-a+1+x²-2x-2=x²-a-1                                       x≥-1   ③ 

恒大于等于0：   

①区间在对称轴x=2的左侧，单调递减，最小值=g(a)=a²-3a-3≥0 恒成立

②区间在对称轴x=1的左侧，单调递减，最小值=g(-1)=-a≥0 恒成立

③对称轴x=0，区间包含对称轴，顶点为最小值-a-1≥0 恒成立

∴a≤-1

a>-1

f(x)=a-x-x-1=-2x+a-1 x≤-1

f(x)=a-x+x+1=a+1   -1≤x≤a

f(x)=x-a+x+1=2x-a+1 x≥-1

令g(x)=-2x+a-1+x²-2x-2=x²-4x+a-3=(x-2)²+a-7          x≤-1   ①

   g(x)=a+1+x²-2x-2=x²-2x+a-1=(x-1)²+a-2              -1≤x≤a   ②

   g(x)=2x-a+1+x²-2x-2=x²-a-1                                         x≥a    ③ 

恒大于等于0：   

①区间在对称轴x=2的左侧，单调递减，最小值=g(-1)=a+2≥0 恒成立

②a≤1时区间包含对称轴，顶点为最小值=a-2≥0 a≥2

   a>1时区间在对称轴x=1的右侧，单调递增 最小值=g(-1)=a+2≥0 恒成立

③对称轴x=0，-1<a≤0时，区间包含对称轴，顶底为最小值=-a-1≥0 恒不成立

a>0区间在对称轴右侧单调递增，最小值=g(a)=a²-a-1≥0 a≥(1+√5)/2

综上a≥2

∴a的取值范围a∈(-∞,-1]∪[2,+∞)

Answer 2

(1)
a=2代入函数方程，得：f(x)=|x-2|+|x+1|
|x-2|+|x+1|≤5
x≥2时，x-2+x+1≤5
2x≤6，x≤3，又x≥2，因此2≤x≤3
-1≤x<2时，2-x+x+1≤5，3≤5，不等式恒成立，-1≤x<2满足题意
x<-1时，2-x-(x+1)≤5
2x≥-4，x≥-2，又x<-1，因此-2≤x<-1
综上，得：-2≤x≤3，不等式的解集为[-2，3]
(2)
|x-a|+|x+1|≥|a-(-1)|=|a+1|
-x²+2x+2=-(x-1)²+3≤3
要不等式f(x)≥-x²+2x+2恒成立
|a+1|≥3
a+1≤-3或a+1≥3
a≤-4或a≥2
a的取值范围为(-∞，-4]U[2，+∞)

Answer 3

(1):f(x)=|x+1|-2|x-1|>1,当x>1时f(x)=x+1-2(x-1)=-x+3>0=>x<3,解集为1<x<3, 当-1<x<1时f(x)=x+1-2(1-x)=3x-1>0=>x>1/3解集为1/3<x<1, 当x<-1时f(x)=-x-1-2(1-x)=x-3>0=>x>3为空集