Question

如图1.在平面直角坐标系中，

如图1.在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴，Y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，且对称轴直线x=1与直线AB交于点M，有一动点P以每秒根号2个单位长度的速度从点B往终点A运动，过点P作直线PQ平行于y轴交抛物线于点Q，设点P运动时间为t秒．将点Q做关于直线AB的对称点Q'，l连接QA，QB，AQ'， BQ' ，是否存在时间t使 bqaq’的面积有最大值，求出时间若点Q’在△BOC内部（不包括边），则t的取值范围是

Answer 1

注:图形需另画

解：存在时间t使 bqaq’的面积有最大值

理由：∵直线y=-x+3与x轴，Y轴分别交于点A，B
∴A（3,0），B（0,3）即△AOB为等腰直角三角形
∵对称轴直线x=1与直线AB交于点M
∴M（1,2）
C（-1,0）,

∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3,0），B（0,3）,C（-1,0）

∴抛物线为y=-x2+2x+3

∵点P运动时间为t秒，则PB=根2*t，设点P的横坐标为Xp

由勾股定理得：2*（Xp）2=（根2*t）2

∴Xp= t

∴Q（t，-t2+2t+3）

bqaq’的面积=2S△ABQ=2((3+Qy)*Qx/2+（3-Qx）*Qy/2+3*3/3)

=3（Qx+ Qy-3）

=3（t -t2+2t+3-3）

=3（-t2+3t）

=-3（t -3/2）2+27/4

∴当t=3/2时，bqaq’的面积最大=27/4。

作△BOC关于直线AB对称的△BO'C'则O'（3,3）C'（3,4）

∴直线BO'：y=3
直线BC'：y=1/3x+3

直线BO'：y=3与抛物线为y=-x2+2x+3的交点为（0，3），（2,3）

直线BC'：y=1/3x+3抛物线为y=-x2+2x+3的交点为（0，3），（2/3,3）

∴若点Q’在△BOC内部（不包括边），则t的取值范围是2/3<t<3