Question

一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a﹑a，求这个自然数和a的值。

Answer 1

设这个数为K，得：

429=mK+A+5，即424=mK+A

791=nK+2A

500=pK+A

得：500-429=(p-m)k-5，76=(p-m)k，所以76能被k整除。

429*2-791=(2m-n)k+10，57=(2m-n)k， 所以57能被k整除。

500*2-791=(2p-n)k， 209=(2p-n)k， 所以209能被k整除。

76=4*19

57=3*19

209=11*19

所以K为19，A=6

除法的法则：

凡是被除数含有除数4、5、 6倍时、期法为：被除数含商4倍：前位加补数一半，本位减补数一次。

被除数含商5倍：前位加补数一半，本位不动。

被除数含商6倍：前位加补数一半，本位加补数一次。

例题：35568+78=456（78的补数是22）算序：355中含有除数4倍，所以前位加11，本位减22 ，得4-4368。436中含除数5倍，前位加11 ，本位不动，得45-468 。468中含除数6倍，前位加11 ，本位加22，得456（商）。

Answer 2

设这个数为K，得：
429=mK+A+5，即424=mK+A，
791=nK+2A,
500=pK+A,
得：500-429=(p-m)k-5,76=(p-m)k,
429*2-791=(2m-n)k+10,57=(2m-n)k,
500*2-791=(2p-n)k, 209=(2p-n)k,
所以K是76，57，209的公约数
76=4*19
57=3*19
209=11*19
所以K为19,A=6.
这个自然数19和a=6.

Answer 3

429 同余 (a+5) mod x, 429=3*11*13, so a+5<x
791 同余 2a mod x, 791= 7*113, so 2a<x
500 同余 a mod x, 500 = 4*5*5*5, so a<x

71 同余 (-5) mod x, so 71 同余 (x-5) mod x,
291同余 a mod x,

if 71=x-5, so x=76, a=63, wrong!
if 71=2x-5, so x=38, a=25, wrong!

if 71=4x-5, so x=19, a=6, OK!

if 71=19x-5, so x=4, a=3, wrong!