Question

对于正整数a、b、c、d、n（n不是完全平方数）证明：当且仅当a=c，b=d时，a+b√n=c+d√n

Answer 1

∵a+b√n=c+d√n
∴a+b√n-c-d√n=0
(a-c)-(b-d)√n=0
(a-c)=(b-d)√n
∵n（n不是完全平方数），
∴√n是无理数，
∵a、b、c、d是正整数，
∴a-c和b-d是有理数，
而有理数乘以无理数只有在0乘以无理数时结果为有理数（0），其他情况都为无理数，
∴a-c=0，b-d=0
即仅当a=c，b=d时，a+b√n=c+d√n

追问

你所说的【而有理数乘以无理数只有在0乘以无理数时结果为有理数（0）】
如果这个成立就可以直接推导原命题得证了……
为甚么？

追答

“∵n（n不是完全平方数），
∴√n是无理数，
∵a、b、c、d是正整数，
∴a-c和b-d是有理数，
而有理数乘以无理数只有在0乘以无理数时结果为有理数（0），其他情况都为无理数，
∴a-c=0，b-d=0
即仅当a=c，b=d时，a+b√n=c+d√n”
以上若不理解，换反证法：
设b≠d，
则b-d≠0，
(a-c)=(b-d)√n的两边同除以b-d，得
(a-c)/(b-d)=√n
而左边是有理数，但右边是无理数，矛盾，
∴b=d，
从而得a=c。