二重积分，求划线部分计算过程
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图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
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先做最里面那层
∫(4a^2 - r^2)^(1/2) r dr
= 1/2 ∫(4a^2 - r^2)^(1/2) d(r^2)
= -1/2 ∫(4a^2 - r^2)^(1/2) d(4a^2 - r^2)
= -1/2 * 2/3 (4a^2 - r^2)^(3/2) + C
把定积分上下限代入, 并考虑到 θ 的取值范围 (就是把 sinθ^2 开平方), 得到:
8a^3/3 ( 1 - (1-cosθ^2)^(3/2) = 8a^3/3 (1-sinθ^3)
于是变成
8a^3/3 ∫ (1-sinθ^3) dθ
从 0 积分到 π/2
∫ (1-sinθ^3) dθ
= θ - ∫sinθ^3 dθ
= θ + ∫sinθ^2 d(cosθ)
= θ + ∫(1-cosθ^2) d(cosθ)
= θ + cosθ - cosθ^3/3 + C
把积分上下限代入, 得到
∫(0->π/2) (1-sinθ^3) dθ
= π/2 + 0 - 1 - (0 - 1/3)
= π/2 + 2/3
然后再乘上 8a^3/3 这个因子就 ok 了
∫(4a^2 - r^2)^(1/2) r dr
= 1/2 ∫(4a^2 - r^2)^(1/2) d(r^2)
= -1/2 ∫(4a^2 - r^2)^(1/2) d(4a^2 - r^2)
= -1/2 * 2/3 (4a^2 - r^2)^(3/2) + C
把定积分上下限代入, 并考虑到 θ 的取值范围 (就是把 sinθ^2 开平方), 得到:
8a^3/3 ( 1 - (1-cosθ^2)^(3/2) = 8a^3/3 (1-sinθ^3)
于是变成
8a^3/3 ∫ (1-sinθ^3) dθ
从 0 积分到 π/2
∫ (1-sinθ^3) dθ
= θ - ∫sinθ^3 dθ
= θ + ∫sinθ^2 d(cosθ)
= θ + ∫(1-cosθ^2) d(cosθ)
= θ + cosθ - cosθ^3/3 + C
把积分上下限代入, 得到
∫(0->π/2) (1-sinθ^3) dθ
= π/2 + 0 - 1 - (0 - 1/3)
= π/2 + 2/3
然后再乘上 8a^3/3 这个因子就 ok 了
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有更简单的方法
这个公式很常用的，高数里面必须掌握😌
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