Question

函数y=x^2+2ax+3在[0,2]上的值域为

Answer 1

y=(x+a)^2+3-a^2
开口向上，对称轴为x=-a
y(0)=3, y(2)=7+4a
y(-a)=3-a^2
若a>=0,则y在[0,2]上单调增，值域为[3,7+4a]
若a<=-2,则y在[0,2]上单调减，值域为[7+4a, 3]
若-1=<a<0,则最小值为y(-a),最大值为y(2),值域为[3-a^2,7+4a]
若-2<a<-1,则最小值为y(-a),最大值为y(0),值域为[3-a^2, 3]

Answer 2

令f(x)=y, f(x)=x^2+2ax+3=(x+a)^2-a^2+3

函数图像开口向上，对称轴为x=-a
f(0)=3, f(2)=7+4a, f(-a)=3-a^2
当-a^2+3<=0即a>=√3或a<=-√3

当f(2)>=f(0)时，即7+4a>=3, a>=-1
当-a<=0即，a>=0; 当-a>=2即a<=-2

所以基本上按a的值的范围讨论，即以
-2 -√3 -1 0 √3 这5个点隔出a的6个区间来讨论y的值域