一道初中数学几何题
说明详细解题过程 谢谢 展开
【分析】
（1）求出∠ECB=15°，∠DCF=60°，求出DF=3√3，DC=6，推出AB=DF=3√3，BC=3√3，求出AD=DF=3√3-3即可；
（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE后证明△DEC≌△DNC，得到ED=EN，即可推出答案。
【解答】
解：
（1）
∵∠BEC=75°，∠ABC=90°
∴∠ECB=15°
∵∠ECD=45°
∴∠DCF=60°
在Rt△DFC中：
∠DCF=60°，FC=3
∴DF=3√3，DC=6
由题得：
四边形ABFD是矩形
∴AB=DF=3√3
∵AB=BC
∴BC=3√3
∴BF=BC-FC=3√3-3
∴AD=DF=3√3-3
∴C梯形ABCD=3√3×2+6+3√3-3=9√3+3
答：梯形ABCD的周长是9√3+3。
（2）
证明：
延长EB至G，使BG=CF，连接CG
∵∠CBG=∠DFC=90°，BC=FD
∴△BCG≌△FDC
∴∠1=∠2
∵∠2+∠DCF=90°
∴∠1+∠DCF=90°
∵∠DCE=45°
∴∠ECG=45°
∴∠DCE=∠ECG
∴△DEC≌△EGC
∴ED=EG
∴ED=BE+FC
角BEC=75度
角BEC+角ABC+角BCE=180度
所以角BCE=30度
因为角ECD=45度
角ECD+角BCE=角DCF
所以角DCF=60度
因为DF垂直BC于F
所以角DFC=90度
所以角CDF=30度
所以CF=1/2DC
DC^2=CF^2+DF^2
因为CF=3
所以DC=6
DF=3倍根号3
因为角ABC=角DFC=90度
所以AB平行DF
因为AD平行BC
所以四边形ABFD是矩形
所以AD=BF
AB=DF
因为AB=BC
所以AB=BC=3倍根号3
因为BC=BF+CF
所以AD=BF=3倍根号3-3
因为梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+DC=3*3倍根号3-3+6=9倍根号3+3
所以梯形ABCD的周长=9倍根号3+3
（2）若角BEC=75度，则结论成立
证明：延长AB，使BG=CF，连接CG
因为角ABC+角GBC=180度
因为角ABC=90度
所以角GBC=90度
因为DF垂直BC于F
所以角DFC=90度
所以角DFC=角ABC=90度
所以AB平行DF
因为AD平行BC
所以四边形ABFD是矩形
所以AB=DF
因为角GBC=角DFC
BG=CF
所以直角三角形GBC和直角三角形CFD全等（SAS)
所以CG=CD
角GCB=角CDF
因为角CDF=30度（已证）
所以角GCB=30度
因为角BCE=15度（已证）
所以角GCE=角GCB+角BCE=15+30=45度
所以角GCE=角ECD=45度
因为CE=CE
所以三角形GCB和三角形DCE全等（SAS)
所以DE=GE
因为GE=BG+BE
所以ED=BE+CF
已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．
（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．
（2）求证：ED=BE+FC．
考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）求出∠ECB=15°，∠DCF=60°，求出DF=33，DC=6，推出AB=DF=33，BC=33，求出AD=DF=33-3即可；
（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE后证明△DEC≌△DNC，得到ED=EN，即可推出答案．
解答：解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，
∴∠ECB=15°，
∵∠ECD=45°，
∴∠DCF=60°，
在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，
∴DF=33，DC=6，
由题得，四边形ABFD是矩形，
∴AB=DF=33，
∵AB=BC，
∴BC=33，
∴BF=BC-FC=33-3，
∴AD=DF=33-3，
∴C梯形ABCD=33×2+6+33-3=93+3，
答：梯形ABCD的周长是93+3．
（2）证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，
∵∠CBG=∠DFC=90°，BC=FD，
∴△BCG≌△FDC，
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠DCF=90°，
∴∠1+∠DCF=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠ECG=45°，
∴∠DCE=∠ECG，
∴△DEC≌△EGC，
∴ED=EG，
∴ED=BE+FC．
点评：本题主要考查对直角梯形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
亲╭(╯3╰)╮，望采纳，请选为满意答案，希望对你有帮助~~
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（1）若∠BEC=75°，则∠ECB=15°那么∠FDC=30°,
则对于直角三角形FDC来说，DC=2FC=6,FD=√3FC=3√3 ,又从图可看出AB=DF,AD=BC-FC
那么按题意可知AB=BC=FD=3√3,AD=BC-FC=3√3-3,DC=6
梯形ABCD周长为6+2*3√3+3√3-3=9√3+3
(2)
