Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c (1)若a>b>c,f(1)=0,是否存在实数m,使f（m）=-a成立时,f(m+3)为正数,并证明

(2)若对实数x1,x2,有x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程f(x)=1/2*[f(x1)+f(x2)有2个不等实根,证明必有一个根属于(x1,x2)

Answer 1

(1)a＞b＞c,f(1)=a+b+c=0,
∴a>0>c,b=-(a+c).
若存在实数m，使得当f(m)=-a，则
am^2+bm+a+c=0,
△=b^2-4a(a+c)=(a+c)(c-3a)>=0,c-3a<0,
∴a+c<=0,b>=0,m=(-b土√△)/(2a),
f(m+3)>0,
<==>f(m+3)-f(m)=a(6m+9)+3b>a,
<==>3(-b土√△）+8a+3b>0,
<==>8a>土3√△，
上式之一成立，
∴存在实数m，使得当f(m)=-a成立时，f(m+3)为正数。
(2)方程f(x)=(1/2)[f(x1)+f(x2)]有两个不同的实数根,
即g(x)=f(x)-(1/2)[f(x1)+f(x2)]=0,
g(x1)=(1/2)[f(x1)-f(x2)],
g(x2)=-(1/2)[f(x1)-f(x2)],
f(x1)≠f(x2),
∴g(x1)*g(x2)<0,
∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一根，命题成立。