Question

设函数y=f(x)的定义域为R,对于任意的x∈R,都有f(1+x)= — f(1-x) 求证：函数f(x)的图像关于点(1,0)对称

设函数y=f(x)的定义域为R,对于任意的x∈R,都有f(1+x)= — f(1-x)
求证：函数f(x)的图像关于点(1,0)对称
过程。谢谢！！！！！！

Answer 1

令1+x=a,x=a-1
所以f(a)=-f(1-a+1)=-f(2-a)
f(x)=-f(2-x)
f(2-x)=-f(x)
所以在函数上取两点，横坐标分别是a和2-a
则纵坐标分别是f(a)和f(2-a)而f(2-a)=-f(a)
所以两点坐标是[a,f(a)],[2-a,-f(a)]
(a+2-a)/2=1,[f(a)-f(a)]/2=0
所以这两点的中点是(1,0)
所以他们关于(1,0)对称

Answer 2

设(x,y)是函数y=f(x)上的任一点，其关于（1，0）的对称点的坐标为(x1,y1)
则：(x+x1)/2=1 (y+y1)/2=0
x1=2-x y1=-y
f(x1)=f(2-x)=f[1+(1-x)]=-f[1-(1-x)]=-f(x)=-y=y1
说明(x1,y1)也在函数y=f(x)上，由于x的任意性，所以函数f(x)的图像关于点(1,0)对称。