Question

求证下面的行列式

证它等于(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)
｜ 1 1 1 1 ｜
｜ a b c d ｜
｜a^2 b^2 c^2 d^2｜
｜a^4 b^4 c^4 d^4｜

Answer 1

第4行-a²倍的第3行, 第3行-a倍的第2行, 第2行-a倍的第1行得:
1 1 1 1
0 b-a c-a d-a
0 b(b-a) c(c-a) d(d-a)
0 b²(b²-a²) c²(c²-a²) d²(d²-a²)
按第1列展开得:
b-a c-a d-a
b(b-a) c(c-a) d(d-a)
b²(b²-a²) c²(c²-a²) d²(d²-a²)
从第1列提出因子b-a, 从第2列提出因子c-a, 第3列提出因子d-a得:
1 1 1
b c d
b²(b+a) c²(c+a) d²(d+a)
第2列-第1列, 第3列-第1列得:
1 0 0
b c-b d-b
b²(b+a) (c³-b³+c²a-b²a) (d³-b³+d²a-b²a)
按第1行展开得:
c-b d-b
(c³-b³+c²a-b²a) (d³-b³+ad²-ab²)
从第1列提出因子c-b, 从第2列提出因子d-b得:
1 1
c²+cb+b²+ca+ba d²+db+b²+ad+ab
算得行列式(d-c)(d+c+b+a)
于是原式 = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d).

Answer 2

上述行列式是若干个关于a,b,c,d的7次多项式的和式f(a, b, c, d)，

因为a=b时, f(a,b,c,d)=0,
so (a-b) | f(a,b,c,d),
类似的， (a-c) | f(a,b,c,d),
类似的， (a-d) | f(a,b,c,d),
类似的， (b-c) | f(a,b,c,d),
类似的， (b-d) | f(a,b,c,d),
类似的， (c-d) | f(a,b,c,d),
已经找到f(a,b,c,d)的6个因式， 故剩余的为一个一次因式。

现在确定剩余的一次因式：考察行列式的和式中关于a的最高次数为4，
系数为-(b-c)*(c-d)*[(c+d)-(b+c)] = (b-c)*(b-d)*(c-d),
故剩余的一次因式 含和式a,
类似的,剩余的一次因式含和式 b
剩余的一次因式 含和式c,
剩余的一次因式含和式 d,

故剩余的一次因式为(a+b+c+d), so
它等于(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)