Question

高数 这个通解的具体过程是什么 给个具体过程吧

Answer 1

方程化为(xdx+ydy)＋y(x^2+y^2)dy＝0，同除以(x^2+y^2)，(xdx+ydy)/(x^2+y^2)＋ydy＝0 以1/(x^2+y^2)为积分因子，得 d(ln(x^2+y^2))＋dy^2＝0 d[ln(x^2+y^2)+y^2]＝0 所以，方程的通解是ln(x^2+y^2)+y^2＝C
很经典的一道题

追问

我是初学者 你的答案是正确的 但是有个不明白 就是以1/(x^2+y^2)为积分因子，得 d(ln(x^2+y^2))＋dy^2＝0 d[ln(x^2+y^2)+y^2]＝0 不明白积分因子是什么 为什么可以换成这个

追答

这里的意思就是用换元法。。。学不定积分时的换元法，积分变量就是d后面的东西~例如dx的积分变量就是x，dx^2的积分变量就是x^2

Answer 2

解：xdx+ydy+y(x²+y²)dy=0
两边同除（x²+y²）得
（xdx+ydy）/(x²+y²)+ydy=0
（2xdx+2ydy）/(x²+y²)+2ydy=0
（2xdx+2ydy）/(x²+y²)=-2ydy
两边积分得
ln(x²+y²)=-y²+C
通解
ln(x²+y²)+y²=C