Question

如图已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

1、将A(3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入抛物线式中，根据

-b/2a=2,                                   

-b/a=x1+x2=4,

c/a=x1x2=3,

c=3,

解二元一次方程组得出y=x^2-4x+3
2、因为△ABO是等腰直角三角形，所以如图所示，有两个满足条件的等腰直角三角形，P1(1, 2)和P2(-1,4)

3、因为S△ADE：S四边形AP1CE=1：2

S△ADE：S四边形AP2CE=1：5

Answer 2

1、将A(3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入抛物线式中，解三元一次方程组得出y=x2-4x+3
2、三角形ABO是一个等腰直角三角形，确定p(-1,4)
3、E点不存在，因为抛物线上若有E点，三角形DCE的高最大为1，小于三角形PDC的高4，（同减差不变）因此，E点不存在。

Answer 3

(1)
A(3, 0), B(0, 3)
抛物线过A, C(均在x轴上): y = a(x - 3)(x - 1)
x = 0, y = 3a = 3, a = 1

y = (x - 3)(x - 1) = x² - 4x + 3

(2)
OA = OB = 3, △ABO是等腰直角三角形
△ABO与△ADP相似
DP⊥AB, DP = DA
AB的斜率= -1, DP的斜率 = 1, DP的解析式: y = 1(x + 1) = x + 1
与y = -x + 3联立, P(1, 2)

(3)
E(e, e² - 4e + 3), 1< e < 3
△ADE的面积S1 = (1/2)(3 + 1)(-e² + 4e - 3) = 2(-e² + 4e - 3)
四边形APCE的面积S2 = △ACP的面积 + △ACE的面积
= (1/2)(3 - 1)*2 + (1/2)*2*(-e² + 4e - 3)
= 2 -e² + 4e - 3
S1 = S2
2(-e² + 4e - 3) = 2 -e² + 4e - 3
-e² + 4e - 3 = 2
e² - 4e + 5= 0
△ = 16 - 20 = -4 < 0
E不存在