Question

2道数学计算题

1.
若X+1/X=3，求（X的3次方+X的-3次方+7）/（X的4次方+X的-4次方+3）的值
2.
试确定a和b，使X的4次方+ax的平方-bx+2能被X的平方+3X+2整除
先给30，回答好的追加

Answer 1

1
∵X+1/X=3
∴(x+1/x)²=x²+1/x²+2=9
∴x²+1/x²=7
∴(x²+1/x²)²=49
∴x⁴+1/x⁴+2=49
∴x⁴+1/x⁴=47
又x³+1/x³
=(x+1/x)(x²-1+1/x²)
=3(7-1)
=18

∴（X³+X-³+7）/（X⁴+X-⁴+3）
=(18+7)/(47+3)
=1/2

2
X⁴+ax²-bx+2能被X²+3X+2整除
则X⁴+ax²-bx+2=（X²+3X+2)(x²+cx+1)

而（X²+3X+2)(x²+cx+1)
=x⁴+(c+3)x³+(3+3c)x²+(2c+3)x+2
∴X⁴+ax²-bx+2=x⁴+(c+3)x³+(3+3c)x²+(2c+3)x+2
∴c+3=0 ,a=3+3c,-b=2c+3
∴c=-3,a=-6,b=3

Answer 2

（X的3次方+X的-3次方+7）/（X的4次方+X的-4次方+3）
=[(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)+7)/[(x^2+1/x^2)^2+1]
={3[(x+1/x)^2-3]+7}/{[(x+1/x)^2-2]^2+1}
=25/50
=1/2

X的平方+3X+2=(x+1)(x+2)
X的4次方+ax的平方-bx+2能被X的平方+3X+2整除
x=-1,X的4次方+ax的平方-bx+2=0
1+a+b+2=0
a+b=-3 (1)
x=-2,X的4次方+ax的平方-bx+2=0
16+4a+2b+2=0
2a+b=-9 (2)
(2)-(1)
a=-6,b=3

Answer 3

1、(x+1/x)^3=x^3+3x+3/x+x^(-3)=27
∴x^3+x^(-3)=18
(x+1/x)^2=x^2+2+1/x^2=9
∴x^2+1/x^2=7
(x+1/x)^4=(x^2+2+1/x^2)^2=(x^4+4+1/x^4+4x^2+4/x^2+2)=81
∴x^4+1/x^4=47
∴(x^3+1/x^3+7)/(x^4+1/x^4+3)=25/50=1/2
2、设(x^2+3x+2)(x^2+cx+1)=x^4+(3+c)x^3+(3+3c)x^2+(3+2c)x+2=x^4+ax^2-bx+2
∴3+c=0,3+3c=a,3+2c=-b
∴a=-6,b=3

Answer 4

1,
x^2+1/x^2=(x+1/x)(x+1/x)-2=3*3-2=7
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2+1/x^2)-x-1/x=3*7-3=18
x^4+1/x^4=(x+1/x)(x^3+1/x^3)-x^2-1/x^2=3*18-7=47
(x^3+1/x^3+7)/(x^4+1/x^4+3)=(18+7)/(47+3)=25/50=1/2
2,
假设x^4+ax^2-bx+2=(x^2+3x+2)(x^2+cx+1)
则
(x^2+3x+2)(x^2+cx+1)=x^4+(3+c)x^3+(2+3c+1)x^2+(2c+3)x+2
对比x^4+ax^2-bx+2，可以得到c=-3，a=-6，b=3

Answer 5

1、∵x+1/x=3 ∴ (x+1/x)²=x²+1/x²+2=9，x²+1/x²=7，
（x+1/x）^3=x^3+1/x^3+3(x+1/x)=x^3+1/x^3+3*3=3^3 ∴x^3+1/x^3=27-9=18

(x²+1/x²)²=x^4+1/x^4+2=49 ∴ x^4+1/x^4=47
∴（X的3次方+X的-3次方+7）/（X的4次方+X的-4次方+3）
=(18+7)/(47+3)
=25/50=1/2
2、假设
(X^4+aX^2-bX+2)/(X^2+3X+2)=cX^2+dX+z;
用X^2+3X+2乘以cX^2+dX+z;
展开，对应项相等：
cX^4+(d+3c)X^3+(z+3d+2c)X^2+(3z+2d)X+2z=X^4+aX^2-bX+2;
c=1;
d+3c=0;
z+3d+2c=a;
3z+2d=-b;
2z=2;
解这几个方程就得到答案啦：
c=1;d=-3;z=1;b=-3;a=-6

Answer 6

x+1/x=3
(x+1/x)²=x²+1/x²+2=9
x²+1/x²=7
(x²+1/x²)²=x^4+1/x^4+2=49
x^4+1/x^4+3=50
（2）设(X^4+aX^2-bX+2)/(X^2+3X+2)=cX^2+dX+z;
用X^2+3X+2乘以cX^2+dX+z;
展开，对应项相等：
cX^4+(d+3c)X^3+(z+3d+2c)X^2+(3z+2d)X+2z=X^4+aX^2-bX+2;
c=1;
d+3c=0;
z+3d+2c=a;
3z+2d=-b;
2z=2;
c=1;d=-3;z=1;b=-3;a=-6