Question

求椭圆x^2/16+y^2/4=1内,过点M(2,1)，且被这点平分的弦所在直线方程

Answer 1

设直线与椭圆相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，
则M是AB的中点，且
x1²+4y1²=16
x2²+4y2²=16
两式相减，得
(x2-x1)(x1+x2)+4((y2-y1)(y1+y2)=0
又　x1+x2=4，y1+y2=2
所以　4(x2-x1)+8(y2-y1)=0
所以AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=-1/2
直线方程为y -1=(-1/2)(x-2)
即x+2y -4=0

Answer 2

设过点M（2，1）的直线方程是
y-1=k(x-2)
y=k(x-2)+1 代入椭圆方程得
x^2/16+[k(x-2)+1]^2/4=1
x^2+4(k^2(x^2-4x+4)+2k(x-2)+1)=16
(4k^2+1)x^2+(8k-16k^2)+16k^2-16k+12=0
x1+x2=-(8k-16k^2)/(4k^2+1)=(16k^2-8k)/(4k^2+1)
∵点M是中点
∴(x1+x2)/2=(16k^2-8k)/2(4k^2+1)=2
8k^2-4k=2(4k^2+1)
4k^2-2k=4k^2+1
k=-1/2
所以直线方程是
y-1=-1/2(x-2)
y=-x/2+2