Question

已知椭圆C x^2/4+y^2/3=1的两焦点F1 F2 点P(x0,y0)满足1<x0^2/4+y0^2/3≤2 则|PF1|^2+|pf2|^2取值范围为

答案是(8,18]、、
想问那个18怎么来的 。。。就是小于等于2的条件怎么用 。谢。

Answer 1

1<x0^2/4+y0^2/3≤2 为两个椭圆之间的椭圆环，其最小值在内环，最大值在外环

PF1^2=(X0-1)^2+Y0^2
PF2^2=(X0+1)^2+Y0^2
上面两个十字相加为所求
|PF1|^2+|pf2|^2=2（x0^2+y0^2）+2
而1<x0^2/4+y0^2/3≤2

1<1/4（x0^2+y0^2）+1/12y0^2，
所以（x0^2+y0^2）>4-1/3y0^2，在内环上，当y0^2=3时，（x0^2+y0^2）取最小值
所以（x0^2+y0^2）>3
|PF1|^2+|pf2|^2>8

1/3（x0^2+y0^2）-1/12x0^2<=2，
所以（x0^2+y0^2）<6+1/4x^2,在外环上，当x0^2=8时，（x0^2+y0^2）取最大值
所以（x0^2+y0^2）<=8

|PF1|^2+|pf2|^2<=18