Question

已知函数f(x)=x^（-k^2+k+2）（k∈Z）满足f（2）<f（3）。

已知函数f(x)=x^（-k^2+k+2）（k∈Z）满足f（2）<f（3）。
（1）求k的值以及函数f（x）的解析式。
（2）对（1）中所求的f（x），试判断是否存在正数m，使g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x 在x∈[1,2]上的值域为[-4，17/8]。若存在，求出m的值。若不存在，说明理由。

看清楚了，区间是[1，2]，不是[-1，2] 谢谢。

Answer 1

1、由f(2)<f(3)，可知，f(x)在x>0时是递增的，所以：(2-k)(1+k)>0；
即(k-2)(k+1)<0，得：-1<k<2，因为k属于z，所以k=0 或k=1；
k=0时，(2-k)(1+k)=2；k=1时，(2-k)(1+k)=2；
所以：f(x)=x²；
2、g(x)=-mx²+(2m-1)x+1
因为m是正数，所以，g(x)是一个开口向下，对称轴为x=(2m-1)/2m的二次抛物线；
对称轴x=(2m-1)/2m=1-1/2m<1；
区间[1,2]在对称轴的右边，所以g(x)在[1,2]上递减；
最小值应为g(2)且等于-4
而g(2)=-mx²+(2m-1)x+1=-1矛盾
综上，不存在满足题意的实数m

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

解：
1. 由题，因为f(2)<f(3)，故函数是增函数。
所以-k^2+k+2>0
即(k+1)(k-2)<0,
k∈(-1,2)
又∵k∈Z
所以k=1,0
f(x)=x^2

2. g(x)=g(x)=1-mx^2+(2m-1)x =-mx^2+(2m-1)x+1
对称轴：直线x=(2m-1)/2m
有(i)(2m-1)/2m<=1,[1,2]上单调增，则有g(1)=-4,g(2)=17/8
g(1)=1-m+2m-1=m=-4.
g(2)=1-4m+4m-2=-1不=17/8
故无解
（ii)1<(2m-1)/(2m)<2,即有-1/2<m<0时有，g(1)=m=17/8,不符合。
（iii)(2m-1)/2m>2,即有-1/6<m<0时有[1,2]单调递减，则有g(2)=-4,g(1)=17/8,显然不符合。
综上所述，不存在m的值。

Answer 3

(1) f(2)<f(3)，即 2^(-k²+k+2)<3^(-k²+k+2) , -k²+k+2>0 , -1<k<2 , 又k∈Z，故k=0或1, f(x)=x²

(2) g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=1-mx²+(2m-1)x，g(1)=m, g(2)=-1

由二次函数性质知，其端点值必然有一个是值域的边界，

1. 若g(1)=m=-4，则 g(x)=4x²-9x+1，在x∈[1,2]上的值域为[-65/16,-1]，不符合

2. 若g(1)=m=17/8，则g(x)=1-17/8x²+13/4x，在x∈[1,2]上的值域为[-1,17/8]，不符合

综合知这样的m不存在