Question

高中数学题

已知数列{xn}和{yn}的通项公式分别为xn=an和yn=(a+1)n+b，n∈N+．
（1）当a=3，b=5时，
①试问：x2，x4分别是数列{yn}中的第几项？
②记cn=xn2，若ck是{yn}中的第m项（k，m∈N+），试问：ck+1是数列{yn}中的第几项？请说明理由；
（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{zn}，若不存在，请说明理由．

这一步求分析，是什么数学思想或者数学方法、我能看懂，但估计下次不会用。
原本的问题撤销，你们都没有回答到点子上，一个清华大学的学生已经帮我解决掉了。
现在问题换成下面两道！
1、请作出第二小问

2、

（这张图原本就很模糊，自己照着题目改一下，由于第二小问已经做出来了，所以图上的EF等点自行忽略）





Answer 1

抱歉这两天一直没上线，现在刚看到这个和QQ的留言。。。解答如下：

1.（2）解：

2.（1）解：

Answer 2

解：（1）由条件可得xn=3n，yn=4n+5．
①令x2=9=ym=4m+5，得m=1，故x2是数列{yn}中的第1项．
令x4=81=yk=4k+5，得k=19，故x4是数列{yn}中的第19项．
②由题意知，cn=32n，由ck为数列{yn}中的第m项，则有32k=4m+5，
那么ck+1=32(k+1)=9×32k=9×(4m+5)=36m+45=4(9m+10)+5，
因9m+10∈N*，所以ck+1是数列{yn}中的第9m+10项．
具体见http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/e295468c-ac75-4fc7-8096-8878c85c5013

追问

见问题补充

Answer 3

分析：
（1）由条件可得xn=3n，yn=4n+5．①令x2=9=ym=4m+5，得m=1，令x4=81=yk=4k+5，得k=19，由此能得到x2，x4分别是数列{yn}中的第几项．②由题意知，cn=32n，由ck为数列{yn}中的第m项，则有32k=4m+5，由此得到ck+1是数列{yn}中的第9m+10项．
（2）设在{1，2}上存在实数b使得数列{xn}和{yn}有公共项，所以t=
as-b
a+1
，因自然数a≥2，s，t为正整数，故as-b能被a+1整除．由此入手能够推导出存在b∈{1，2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项．
解：（1）由条件可得xn=3n，yn=4n+5．
①令x2=9=ym=4m+5，得m=1，故x2是数列{yn}中的第1项．
令x4=81=yk=4k+5，得k=19，故x4是数列{yn}中的第19项． …（2分）
②由题意知，cn=32n，由ck为数列{yn}中的第m项，则有32k=4m+5，
那么ck+1=32(k+1)=9×32k=9×(4m+5)=36m+45=4(9m+10)+5，
因9m+10∈N*，所以ck+1是数列{yn}中的第9m+10项． …（8分）
（2）设在{1，2}上存在实数b使得数列{xn}和{yn}有公共项，
即存在正整数s，t使as=（a+1）t+b，∴t=
as-b
a+1
，
因自然数a≥2，s，t为正整数，∴as-b能被a+1整除．
①当s=1时，t=
as-b
a+1
＜
a
a+1
∉N*． ②当s=2n（n∈N*）时，
当b=1时，
as-b
a+1
=
a2n-1
a+1
=-
1-a2n
1-(-a)
=-[1+(-a)+(-a)2+…+(-a)2n-1]=（a-1）[1+a2+a4…+a2n-2]∈N*，即as-b能被a+1整除．
此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为zn=22n（n∈N*）．
显然，当b=2时，
as-b
a+1
=
a2n-2
a+1
=
a2n-1
a+1
-
1
a+1
∉N*，即as-b不能被a+1整除．
③当s=2n+1（n∈N*）时，t=
as-b
a+1
=
a(a2n-ba)
a+1
，
若a＞2，则a2n-
b
a
∉N*，又a与a+1互质，故此时t=
a(a2n-ba)
a+1
∉N*．
若a=2，要a2n-
b
a
∈N*，则要b=2，此时a2n-
b
a
=a2n-1，
由②知，a2n-1能被a+1整除，故t=
a(a2n-ba)
a+1
∈N*，即as-b能被a+1整除．
当且仅当b=a=2时，aS-b能被a+1整除．
此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为zn=22n+1（n∈N*）．
综上所述，存在b∈{1，2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，
且当b=1时，数列zn=a2n（n∈N*）；当b=a=2时，数列zn=22n+1（n∈N*）．

Answer 4

左边明显的是首项为1，公比为-a的等比数列的前2n项的和，，，，，这有什么好说的，，，，高中的最后一道题最后一问的不等式证明大部分都是不等号两边化成N项的和，然后比较通项。。。。。。。。。。。以后做题就按这种思路做就是咯，，，还有要会联想，，，真正难的放缩可没这么明显的一个等比数列的求和哦。。。。望采纳

追问

见问题补充

Answer 5

把a=3和b=5代入，xn=3n，yn=4n+5所以x2=6，x4=12 再把6和12分别换成yn，可求x2和x4在{yn}中分别是第1/4和7/4项，而n是正整数，所以x2和x4不是{yn}中的项。
题好像有点不对啊

Answer 6

·······有点复杂··········