Question

已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

如果充分挖掘本题的几何关系OP⊥OQ，不难得出O在以P,Q为直径的圆上。而P,Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 我想知道为什么O在以PQ为直径的圆上？？

Answer 1

这就是圆的直径的性质了，圆上任何一点（除直径两端点外）与直径两端点相连，所得角为直角。
反之，所有的直角三角形都可以理解为：直角点在以斜边两端点为直径的圆上。

追问

可是题目并没有说O在过P Q交点的圆系上 这个需要证明吧？？

追答

不需要

Answer 2

角POQ是直角，O当然在PQ为直径的圆上了。

Answer 3

画个图 因为OP⊥OQ 所以角POQ是直角 而且PQ为圆的直径 直径所对的圆周角为直角（角POQ为直径PQ所对圆周角） 反之成立