Question

已知x，y为正数，则x/（2x+y）+y/（x+2y）的最大值为多少

Answer 1

已知x,y均为正实数,则x/(2x+y)+y/(x+2y)的最大值
x/(2x+y)+y/(x+2y)
=(x^2+4xy+y^2)/(2x^2+5xy+2y^2) (通分)
=(x^2+2.5xy+y^2+1.5xy)/(2x^2+5xy+2y^2) (转化变形，准备将分母变为1项式)
　　=0.5+1.5xy/(2x^2+5xy+2y^2) （分母变为1项式）

　　≤0.5+1.5*1/9
　　≤1/2+1/6
　　≤2/3最大值是2/3
因为x>0 y>0 所以要求xy/(2x^2+5xy+2y^2)的最大值，就是要求(2x^2+5xy+2y^2)/xy的最小值
　　 (2x^2+5xy+2y^2)/xy
=2x/y+2y/x+5>=4+5(利用基本不等式a+b>=2*根号(ab))
　　最小值为9

Answer 2

先通分得到（x^2 y^2 4xy）/（2x^2 2y^2 5xy）。在提公因式得到0.5 1.5xy/（2x^2 2y^2 5xy）。在把第二个式子取倒数，在用均值算。答案应该是6.5