求证n!<[(n+1)/2]^n,用两种方法
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证法一
由代数平均大于几何平均
(1+2+3+……+n)/n>(1*2*3*……*n)的n次方根
所以n(n+1)/2n>(n!)的n次方根
所以n!<[(n+1)/2]^n
证法二
因为0<1*n<[(1+n)/2]^2
0<2*(n-1)<[(1+n)/2]^2
……
0<(n-1)*2<[(1+n)/2]^2
0<n*1<[(1+n)/2]^2
相乘
1^2*2^2*……*n^2<[(1+n)/2]^2n
(n!)^n<[(1+n)/2]^2n
所以n!<[(n+1)/2]^n
由代数平均大于几何平均
(1+2+3+……+n)/n>(1*2*3*……*n)的n次方根
所以n(n+1)/2n>(n!)的n次方根
所以n!<[(n+1)/2]^n
证法二
因为0<1*n<[(1+n)/2]^2
0<2*(n-1)<[(1+n)/2]^2
……
0<(n-1)*2<[(1+n)/2]^2
0<n*1<[(1+n)/2]^2
相乘
1^2*2^2*……*n^2<[(1+n)/2]^2n
(n!)^n<[(1+n)/2]^2n
所以n!<[(n+1)/2]^n
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