Question

如图，在三角形ABC，AB=AC,以AB为直径的⊙O,分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线

如图，在三角形ABC，AB=AC,以AB为直径的⊙O,分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上，且∠CBF=2/1∠CAB

Answer 1

1、连接AE
∵AB是直径
∴∠AEB=90°
∵AB=AC
∴等腰△ABC中：AE是∠CAB的平分线：∠BAE=∠CAE=1/2∠CAB
∴∠BAE+∠ABC=90°
∵∠CBF=1/2∠CAB=∠BAE
∴∠CBF+∠ABC=90°
即∠ABF=90°
∴AB⊥BF
即BF是圆的切线
2、∵sin∠BAE=sin∠CBF=√5/5
∴BE=AB×sin∠BAE=5×√5/5=√5
∵AE是等腰三角形ABC的高，那么也是中线
∴BC=2BE=2√5
做CM⊥BF
CM=BC×sin∠CBF=2√5×√5/5=2
∴BM=√(BC²-CM²)=√(20-4)=4
∵AB⊥BF，CM⊥BF
∴CM∥AB
∴△CMF∽△ABF
∴CM/AB=FM/BF=(BF-BM)/BF
2/5=(BF-4)/BF
BF=20/3

Answer 2

1）连AE,
因为AB为直径
所以∠AEB=90
因为AB=AC
所以∠BAE=∠CAE=（1/2）∠BAC(三线合一)
因为∠CBF=(1/2)∠BAC
所以∠CBF=∠BAE
因为∠BAE ∠ABE=90
所以∠ABE ∠CBF=90
因为B在圆上
所以直线BF是⊙O的切线
2）因为∠CBF=∠BAE
所以sin∠CBF=sin∠BAE=BE/AB=BE/5
所以BE=5×√5/5=√5
所以BC=2BE=2√5

在直角三角形ABE中，由勾股定理，得AE=2√5
由△ABC面积不变，得，
AC×BD=BC×AE,
即5BD=2√5*2√5
解得BD=4,
在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD=3,
由∠ADB=∠ABF=90,∠BAD为公共角
得△ABD∽△AFB,，
所以BD/FB=AD/AB
即4/BF=3/5
即得BF=20/3

Answer 3

等下我来解