Question

设a>0,a不等于1,解关于x的不等式|loga(ax^2)|<|logax|+2

求过程

Answer 1

不等式|loga(ax^2)|<|logax|+2
|loga(a)+2loga(x)|<|loga(x)|+2
即|1+2loga(x)|<|loga(x)|+2
1+2loga(x)=0 ==>loga(x)=-1/2,x=1/√a

若0<a<1时，
当 0<x<1,loga(x)>0,
不等式即1+2loga(x)<loga(x)+2
loga(x)<1/2 =loga(√a)
x>√a
∴√a<x<1
当1≤x<1/√a时，-1/2< loga(x)≤0 ,
-1<2loga(x)≤0,0<1+2loga(x)≤1
原不等式即1+2loga(x)<-loga(x)+2
∴loga(x)<1/3 ,x>³√a
∴1≤x<1/√a,符合题意
当x≥1/√a时，loga(x)≤-1/2 ,1+2loga(x)≤0
原不等式即-1-2loga(x)<-loga(x)+2
∴loga(x)>-3 ,x<1/a³
∴1/√a<x<1/a³
综上，当0<a<1时，原不等式的解集（√a,1/a³)

若a>1,
当 0>1,loga(x)>0,
不等式即1+2loga(x)<loga(x)+2
loga(x)<1/2 =loga(√a)
x<√a
∴1<x<√a
当1/√a<x≤1时，-1/2< loga(x)≤0 ,
-1<2loga(x)≤0,0<1+2loga(x)≤1
原不等式即1+2loga(x)<-loga(x)+2
∴loga(x)<1/3 ,x<³√a
∴1/√a<x≤1,符合题意
当0<x≤1/√a时，loga(x)≤-1/2 ,1+2loga(x)≤0
原不等式即-1-2loga(x)<-loga(x)+2
∴loga(x)>-3 ,x>1/a³
∴a³<x≤1/√a
综上，当a>1时，原不等式的解集（1/a³,√a)

∴当0<a<1时，原不等式的解集（√a,1/a³)
当a>1时，原不等式的解集（1/a³,√a)

Answer 2

令t=loga(x)
则方程化为;| 1+2t|<|t|+2
t>=0时，化为：1+2t<t+2,即t<1,得; 0=<t<1
-1/2<t<0时，化为: 1+2t<-t+2,得：t<1/3,得： -1/2<t<0
t<=-1/2时，化为：-1-2t<-t+2,得：t>-3,得：-3<t<=-1/2
综合得：-3<t<1
即-3<loga(x)<1
当a>1时，有1/a^3<x<a
当0<a<1时，有a<x<1/a^3

Answer 3

设m=logax
∵loga(ax^2)=logaa+logax^2=1+2logax
∴原不等式可为0≤︳1+2m︳﹤︳m︳+2
两边平方得4m^2+4m+1﹤m^2+4m+4
∴m^2﹤1
∴-1﹤logax﹤1
∴loga(1/a)﹤logax﹤logaa
∴(1/a)＜x＜a