Question

初中数学较难几何题（求思路），高手进

已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15°． 求证：△PBC是正三角形．

我知道一般思路为：只要证明AB=BP即可（或证∠BAP=∠APB）
我知道要用全等证明，但就是使不出招来，请你亮出你的方法，并说明你的突破口

Answer 1

要证AB=PB，就过点B作BE垂直AP于E.再证AE=PE=1/2AP,，因为角PAD=角PDA，所以AP=DP,，过点D作DF垂直AP于F,因为角DPF=30度，所以DF=1/2DP,只要证三角形ABE和三角形DAF全等，就可证得AE=DF，因为ABCD是正方形，所以AB=AD,角ABE=角DAP=15度，角AEB=角AFD=90度,所以三角形ABE和三角形DAF全等（ASA)
证明：过点D作DF垂直AP并交AP的延长线于F ,过点B作BE垂直AP于E
所以角AFD=角AEB=角DFP=90度
因为角PAD=角PDA=15度
PA=PD
角DPF=角PAD+角PDA=30度
在直角三角形DFP在，角DFP=90度，角DPF=30度
所以DF=1/2PD
所以DF=1/2PA
因为四边形ABCD是正方形
所以AB=BC=AD
角BAD=角ADC=角ABC=90度
所以角BAP=75度
角AEB=角AFD=90度
角ABE=90-角BAP=15度
所以角ABE=角DAP=15度
所以直角三角形ABE和直角三角形DAF全等（ASA)
所以AE=DF
因为AE+PE=AP
所以AE=PE
因为角AEB=角PEB=90度
BE=BE
所以三角形ABE和三角形PBE全等（SAS)
所以AB=BP
角ABE=角PBE=15度
所以BC=BP
所以三角形PBC是等腰三角形
因为角PBC=角ABC-角ABE-角PBE=60度
所以三角形PBC是正三角形

追问

请问：你是由什么而想到作△ADF，是由15°+15°=30°而想到的吗？
也就是说，你的思路是：制造一个三角形与△ABE全等，而又能得到AE=½AP的结论？

追答

是的

Answer 2

lz，图书馆要关门了，我把思路告诉你，你再完善过程，不好意思啊。
在AD上面构造全等三角形EAD,易证△EAP≌△EDP，所以EP=EA。又有∠EAP=∠BAP=75°，BA=EA，所以△EAP≌△BAP，所以PB=PE=EA，同理PC=PE，所以就正三角形了。（或者可以证∠PBC=60°）
突破口就是我搞一个正三角形出来，不然总有使不上劲儿的感觉！

追问

好奇怪的理由。
难道你一看到这道题就知道要创造等边三角形吗？

追答

是的，lz有没有一种感觉，做这道题的时候，明明知道那个PBC是正三角形，就是不知从何下手，那么我们就构造一个正三角形，其实就是把PBC平移上去，不过换一种说法，这样问题就迎刃而解了。其实也可以用同一法证明。

Answer 3

证明：（图就略了）
过D点作DE⊥AP，垂足为E，过B作BF⊥AP，垂足为F。
由三角形外角与内角关系，得∠DPE＝30度
∴DE＝1/2DP=1/2AP。
∵AD⊥AB AE⊥BF
∴∠DAE＝∠ABF（一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等）
∴Rt △ADE≌Rt △BAF
∴AF＝DE＝1/2AP
∵BF垂直平分AP
∴BA＝BP
同理：CD＝CP
又AB＝BC＝CD
所以BP＝BC＝CP
即△PBC是正三角形。

Answer 4

设角APBX度。可证明左右两个三角全等就不说了。角ABP＝105-X，角PBC＝90-(105-x)而两个三交心全等，BPC=360-150-2X然后三角形BPC三角之和180可以算出X

Answer 5

过p作一条垂线交AD为E，交BC为F 因为∠PAD＝∠PDA＝15 所以 AP=PD 又因为ABCD为正方形 所以AB=DC ，∠BAP=角DPC
在三角形APB与三角形DPC中，∵AB=DC ∠BAP=角DPC AP=DP ∴三角形APB≌三角形DPC
∴BP=PC

Answer 6

很经典的一个题，数学吧上被人讨论了N遍
http://tieba.baidu.com/p/1046035106
56楼

还有一种证法，也是用全等：
http://hi.baidu.com/ymlshg/item/99714d97b4bb56d91b49df8e

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！