Question

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号3/2，AB分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号3/2，A,B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且|OM|=根号5/2.
（1）求椭圆的方程
（2）过(-1,0)的直线L交椭圆于P，Q两点，求△POQ面积最大时直线L的方程。

Answer 1

解：
(1)设椭圆的半焦距为c
则有：
a²=b²+c²
a²+b²=5
c/a=√3/2
解得：
a=2
b=1
c=√3
所以椭圆的方程为：(x²/4)+y²=1
(2)
【方法一】
设交点P（x1，y1），Q（x2，y2）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1
则S=√3/2
当直线l的斜率存在时
设其方程为y=k(x+1)（k≠0），联立椭圆方程：(x²/4)+y²=1
得：(4k²+1)x²+8k²x+4(k²-1)=0
两个根为x1，x2
x1+x2=-8k²/(4k²+1)
x1•x2=4(k²-1)/(4k²+1)
则|PQ|=[√(1+k²)]|x1-x2|=[√(1+k²)] ×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]（k≠0）
又原点到直线l的距离d=|k|/(1+k²)
所以
S=(1/2)|PQ|•d
=(1/2)√(1+k²)×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]×[|k|/(1+k²)]
=2√(3k²+1)k²/(4k²+1 ) （k≠0）
=2√(3k^4+k²)/(16k^4+8k²+1)
=2√[3/16-(8k²+3)/16(16k^4+8k²+1)]
＜2•√3/4
=√3/2
所以，当直线l的方程为x=-1时，△POQ面积最大；

做第二问的基本思路就是将直线方程与椭圆方程联立，消去y

追问

有了方法一，那方法二呢？

追答

将直线方程与椭圆方程联立，消去X
设交点P（x1，y1），Q（x2，y2）
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1
则S=√3/2
当直线l的斜率存在时
设其方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆方程(x²/4)+y²=1
得：(4+1/k²)y²-(2/k)y-3=0
两个根为y1，y2，△＞0恒成立
y1+y2=2k/(4k²+1)
y1•y2=-3k²/(4k²+1)
|y1-y2|=√[(y1+y2)²-4y1•y2]=4√[(3k^4+k²)/(16k^4+8k²+1)]
∴S△POQ=S△POT+S△QOT
=(1/2)×|OT|×(|y1|+|y2|)
=(1/2)×(|y1-y2|)
=(1/2)√[3-(8k²+3)/(16k^4+8k²+1)]
＜2•√3/4
=√3/2