Question

如图,△ABC为等边三角形,D为BC上任一点,∠ADE=60°,边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E

（1）求证：△ADE为等边三角形（2）若点D在CB的延长线上，（1）的结论是否成立？请画出图形

Answer 1

(1)证明：在AB上截取BP=BD，连接AE

因为△ABC是等边三角形，所以∠B=60

BD=BP，所以△BDP为等边三角形。

∠BPD=60，∠APD=120

∠ACB=60，所以外角为120

CE为角平分线，∠ACE=60

∠DCE=∠ACB+∠ACE=120=∠APD

因为∠B=60，所以∠PAD+∠ADB=120

因为∠ADE=60，所以∠CDE+∠ADB=120

∠PAD=∠CDE

CD=BC-BD，AP=AB-BP

所以AP=CD

△APD≌△DCE。AD=AE

因为∠ADE=60，所以△ADE为等边三角形

（2）仍然成立。

证明：延长AB到点M，使BM=BD，连接AE、DM

△ABC等边三角形，AB=BC

所以AB+BM=BC+BD，即AM=CD

∠DBM=∠ABC=60，BD=BM

所以△DBM为等边三角形，∠M=60

∠ACB=60，所以外角为120度

CE所在直线平分外角，所以∠BCE=60=∠M

∠ABC为△ADB外角，所以∠ADB+∠DAB=60

∠ADB+∠CDE=∠ADE=60

所以∠DAB=∠CDE

因此△ADM≌△CDE。AD=DE

Answer 2

（1）根据圆内接四边形性质反向推断，即：

同底的两个三角形，若另一顶点都在底的同旁，且顶角相等，则两个三角形有公共的外接圆。

当以AE为同底时，∠ADE=∠ACE=60°(已知条件)

当以DC为同底时，∠DAC=∠DEC（通过相似推出）

∴四边形ADCE是圆内接四边形。

根据圆内接四边形性质，外角等于内对角，或对角互补的性质，得出∠DAE=60°

∴△ADE为等边三角形

（2）若点D在BC的延长线上，结论仍然成立。（注：原题为CB,本人感觉应是笔误，不然无法与CE交相）

证明过程同上，四边形ACDE仍旧是圆内接四边形。

追问

抱歉没学圆....