如图,△ABC为等边三角形,D为BC上任一点,∠ADE=60°,边DE与∠ACB外角的平分线相交于点E
（1）、在△ADO和△ECO中，∠ADO=∠ECO=60°，∠AOD=∠EOC（对顶角）
∴△ADO∽△ECO。∴AO：EO=DO：CO。
在△AOE和△DCO中，∵AO：EO=DO：CO，∴△AOE∽△DCO（对应边成比例，对应角相等）
∴∠OCD=∠AEO，∴∠OCD=60°，∴∠AEO=60°
在△ADE中，∠ADE=60°，∠AED=∠AEO=60°，∴∠DAE=60°
∴△ADE为等边三角形。
（2）若点D在CB的延长线上，
不成立。因为AD已于CE交叉。
(1）证明：
如图，在AB上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠B=60º,ZB＝AC,∠ACB＝60º
又∵BH=BD
∴AH=DC
∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB=60º
∴∠ACE＝60º
∴∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝120º
∵∠B＝60º,BH=BD
∴⊿BHD是等边三角形
∴∠BHD=60º
∴∠AHD＝60º
∴∠AHD=∠DCE
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC
且∠ADC＝∠HAD＋∠B
∴∠ADE＋∠EDC＝∠HAD＋∠B
又∵∠ADE＝∠B＝60º
∴∠HAD＝∠EDC
在⊿AHD与⊿DCE中
∠HAD＝∠EDC；∠AHD=∠DCE；AH=DC
∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚
∴AD＝DE
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（2）不变，如图，在AB的延长线上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠2＝∠1＝60º,AB=BC,∠ABC=60º
又∵BH=BD
∴AH=CD且⊿BDH是等边三角形
∴∠H＝60º,∠BDH＝60º
又∵CE平分∠ACB的外角，且∠ACB＝60º
∴∠3＝60º
∴∠3＝∠H
∵∠ADH=∠ADE＋∠BDH﹣∠4＝120º－∠4
且∠DEC＝180º－∠3－∠4＝120º－∠4
∴∠ADH＝∠DEC
∴在⊿AHD与⊿DCE中
∠3＝∠H；∠ADH＝∠DEC；AH=CD
∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚
∴AD=DE
已知角ADE=角ACE=60度，角AFD角EFC为对顶角，所以角DAE=角DEC（设为角1）
角AFD=180-60-角1（在三角形ADF中）
角AFE=180-60-角1（三角形EFC外角）
所以角AFD=角AFE=90度，也就是AC垂直DE.
角1=30度，角EDC=30度，根据等腰三角形DC=CE
AC公共边，所以三角形ADC全等于AEC,所以AD=AE
确认三角形ADE为等腰，角ADE60度，所以三角形ADE为等边三角形。
若在BC或CB的延长线上，结论一致。
证明同上思路。
