Question

已知O是三角形ABC的外心,若A(0,0),B(2,0),AC=1,角BAC=120度,且向量AO=λ向量AB+μ向量AC,则λ+μ=?

Answer 1

如图，因为 O 是三角形 ABC 的外心，因此 O 在 AB、AC 边的射影分别是 AB、AC 的中点，

那么 AO*AB=|AO|*|AB|*cos∠OAB=1/2*|AB|*|AB|=2 ，同理得 AO*AC=1/2 ，

且 AB*AC=|AB|*|AC|*cos∠CAB= -1 ，

在已知等式两边，分别同乘以 AB、AC 得

AO*AB=λAB*AB+μAC*AB ，AO*AC=λAB*AC+μAC*AC ，

即 2=4λ-μ ，且 1/2= -λ+μ ，

解得 λ=5/6 ，μ=4/3 ，

所以 λ+μ=13/6 。