Question

设a=1/根号1+1/根号2+1/根号3+...+1/根号2002,求根号a的整数部分.

Answer 1

a=根号1分之1加到根号2002分之1
=2(1/2√1+1/2√2+1/2√3+....+1/2√2002)
<2(1/2+1/（√2+1）+1/(√3+√2)+....+1/(√2002+√2001))
=2(1/2+√2-1+√3-√2+√4-√3+.....+√2002-√2001)
=2(1/2+√2002)
=1+2√2002
整数部分为：89+1=90
a=根号1分之1加到根号2002分之1
=2(1/2√1+1/2√2+1/2√3+....+1/2√2002)
>2(1/（√2+1）+1/(√3+√2)+....+1/(√2003+√2002))
=2(√2-1+√3-√2+√4-√3+.....+√2003-√2003)
=2(√2003-1)
>87
所以
√a的整数部分为：9.

Answer 2

本题加强一下：
2((√n+1)-1)<1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n

1/√n=2/(√n+√n)＞2/(√n+1+√n)=2(√n+1 -√n)
所以
1+1/√2+1/√3+...+1/√n＞2(√2-1)+2(√3-√2)+2(√4-√3)+...+2(√n+1-√n)
=2(√n+1-1)
右边同样，1/√n=2/(√n+√n)＜2/(√n-1+√n)=2(√n -√n-1)
所以
2(√(2003)-1)<a^2<2√2002
2(√(2003)-1)约=87.8

2√2002约=89.5
所以a的整数部分为9