高考数学最后一道大题
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一般只会第一个问,
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1)定义域为x>0. f'(x) = x+1/x + (a-3),f(x)单调要求f‘(x)在定义域>0或<0
观察g(x) = x+1/x,易知在x->0 和x->无穷,g(x)->无穷。其极值点在g'(x)=1-1/x^2 = 0处,在定义域内,该点为 x1 = 1.所以 g(x)>2.
所以f'(x)需要在定义域内>0, 即 必须满足 2+a-3>0, a > 1. a 的最小值为1.
观察g(x) = x+1/x,易知在x->0 和x->无穷,g(x)->无穷。其极值点在g'(x)=1-1/x^2 = 0处,在定义域内,该点为 x1 = 1.所以 g(x)>2.
所以f'(x)需要在定义域内>0, 即 必须满足 2+a-3>0, a > 1. a 的最小值为1.
追问
第二问呢?
追答
2)把f(x)表达式带入,简化后得到方程 -a x^2 + x + ln x =0, 左边设为h(x)
同上,定义域为x>0
方程有2个实根,要求必有一点x0,使得 h‘(x0)=0,且 h(x0)>0
h'(x) = -2ax+1+1/x, 由于x>0,要使h'(x)=0 必须a>0
h'(x) =0 => -2ax^2 +x +1 =0, 有两个根, x0(a) = (1+sqrt(1+8a))/4a 和 x1(a) =(1-sqrt(1+8a))/4a
由于a>0,所以x11时,h(x0)<0,不满足要求.
综上,a的取值范围为 0<a<1
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