Question

计算：24×(1/2×3+1/4×5+……+1/(20×21))

Answer 1

解：
1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
1/(1²+2²+...+n²)=1/[n(n+1)(2n+1)/6]
=6/[n(n+1)(2n+1)]
=6[1/n + 1/(n+1) -4/(2n+1)]

24×[1/(2×3)+1/(4×5)+...+1/(20×21)] -[1/1²+1/(1²+2²)+...+1/(1²+2²+...+10²)]
=24×(1/2-1/3+1/4-1/5+...+1/20-1/21)-6(1/1+1/2-4/3+1/2+1/3-4/5+...+1/10+1/11-1/21)
=24×(1/2+1/4+...+1/20)-24×(1/3+1/5+...+1/21)-6(1/1+1/2+1/2+1/3+...+1/10+1/11)+24(1/3+1/5+...+1/21)
=24×(1/2+1/4+...+1/20) -6[1+2×(1/2+1/3+...+1/10)+1/11]
=12×(1+1/2+1/3+...+1/10) -6 -6/11+12 -12×(1+1/2+1/3+...+1/10)
=12-6 -6/11
=60/11

本题的关键在于拆项，1/[n(n+1)]比较简单，1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)，关键是拆出：
1/(1²+2²+...+n²)=6[1/n + 1/(n+1) -4/(2n+1)]，后面的就简单了，相同项抵消后就可以得到结果了。

Answer 2

郭敦顒回答：
原式=24×（1/6+1/20+1/42+1/72+1/110+1/156+1/210+1/272+1/342+1/420）
－（1/1+1/5+1/14+1/30+1/55+1/91+1/140+1/204+1/285+1/385）
=6.8066292－1.3520837=5.454545455
看得数结果似乎还有特别的计算方法，也未可知。