Question

已知直线y=kx+1与双曲线x^2-y^2=1的左支相交于不同的亮点A,B,线段AB的中点为点M,定点C(-2,0)

(1)求实数k的取值范围
（2）求直线MC在y轴上的截距的取值范围

Answer 1

解：联立y=kx+1
x^2-y^2=1
∴x²-(kx+1)²=1
x²-k²x²-2kx-1=1
(1-k²)x²-2kx-2=0
有两个交点，那么上式为一元二次方程1-k²≠0.
△＞0
4k²+8(1-k²)>0
8>4k²
k²<2
又是左支相交于不同的两点，根据韦达定理
2k/(1-k²)<0,-2/(1-k²)>0
解得1<k<√2
(2)根据
(1-k²)x²-2kx-2=0
可知中点x=k/(1-k²)，代入直线y=1/(1-k²)
∴M(k/(1-k²),1/(1-k²))
定点C(-2,0)
可得
y=1/(-2k²+k+2)*（x+2）
截距为b=2/(-2k²+k+2)
又1<k<√2
∴√2-2<-2k²+k+2<1
b属于(-∞,-(√2+2)/2)(1,+∞).

追问

y=1/(-2k²+k+2)*（x+2）是用什么方程设的？是截距式方程吗？

追答

两点式
已知直线两点(x1,y1)，(x2,y2)(x1≠x2)，则直线可表示为
y-y1=(y2-y1)(x-x1)/(x2-x1)。

Answer 2

只要在渐近线内就可以了和Y=1区域内就好了，画个图就一目了然了。（0，1）
第二个不会