Question

若关于x的实系数一元二次不等式ax^2+bx+c≥0(a<b)的解集为R,则M=(a+2b+4c)/

若关于x的实系数一元二次不等式ax^2+bx+c≥0(a<b)的解集为R,则M=(a+2b+4c)/(b-a)的最小值是多少 答案是8

Answer 1

解：由题，ax²+bx+c≥0恒成立，则有
①a=b=0，c＞0
与题设a＜b不符，舍去
②a＞0，△=b²-4ac≤0
则4ac≥b²
易知M=(a+2b+4c)/(b-a)=[a·(a+2b+4c)][a·(b-a)]=(a²+2ab+4ac)/(ab-a²)
∴M≥(a²+2ab+b²)/(ab-a²)=(1+2·b/a+b²/a²)/(b/a-1)
不妨令t=b/a(t＞1)，则
M≥(t²+2t+1)/(t-1)=[(t-1)²+4(t-1)+4]/(t-1)=(t-1)+4+4/(t-1)
由基本不等式，可知
(t-1)+4/(t-1)≥2√[(t-1)·4/(t-1)]=4
∴M≥4+4=8
综合①,②，M的最小值为8