Question

已知点 A(4,0)和圆 B:x^2+(y-2)^2=1 ，若点P 在圆B 上运动， O是坐标原点，求使S三角形OAP-S三角形OBP

已知点 A(4,0)和圆 B:x^2+(y-2)^2=1 ，若点P 在圆B 上运动， O是坐标原点，求使S三角形OAP-S三角形OBP 取得最小值时点P 的坐标

Answer 1

解：设P(x,y)，由P在圆B上运动，得 x²+(y-2)²=1 (1＜y＜3)
∴ |x|=√[1-(y-2)²] (△OAP以OA为底边，P到x轴的距离|y|为高，
△OBP以OB为底，P到y轴距离|x|为高来计算两个三角形面积)
则 S△OAP-S△OBP=4*|y|/2-2*|x|/2=2y-√[1-(y-2)²]
最小值为4-√5，此时P(±√5/5,2-2√5/5)

追问

为什么最小值是4-根号5啊？
我比较笨额不好意思

追答

解：设t=2y-√[1-(y-2)²]，得 2y-t=√[1-(y-2)²] 平方，得 (2y-t)²=1-(y-2)²
即 5y²-4(t+1)y+t²+3=0 因为y值存在，即此方程有解，则
Δ=[4(t+1)]²-4*5*(t²+3)≥0 4-√5≤t≤4+√5 取最小值时，y=2-2√5/5∈(1,3)