Question

、如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，设AM=m，MN=x，BN=n

、如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，设AM=m，MN=x，BN=n那么：
（1）以x、m、n为边长的三角形是什么三角形？（请证明）
（2）如果该三角形中有一个内角为60°，求AM:AB。

Answer 1

要回家了，先答第一问吧

 

 

 

解：

 

(1)

如图：作△ACM≌△BCD，

∴∠ACM=∠BCD，∠A=∠CBD=45°，CM=CD，AM=BD=m，

∵∠ACB=90°, ∠MCN=45°

∴∠ACM+∠NCB =45°

∴∠NCD=∠BCD+∠NCB =45°

∴∠MCN=∠NCD =45°，

又∵CN=CN，

∴△MNC≌△DNC，

∴MN=ND=x， 

又∵∠DBN=∠CBA+∠CBD= 45°+45°=90°，

∴DN^2=DB^2+NB^2

∴MN^2=AM^2+NB^2

∴x^2=m^2+n^2

∴以x、m、n为边长的三角形是直角三角形

 

 

到家了，再作第二问

(2)、

如果该三角形中有一个内角为60°，则另一内角为30°，斜边为x,

如果设n=x/2，则m=(√3/2)x

AM/AB=m/(m+x+n)

=(√3/2)x /[(√3/2)x+x+x/2]

=(√3/2) /[√3/2+1+1/2]

=(√3-1)/2

如果设m=x/2, 则n=(√3/2)x

AM/AB=m/(m+x+n)

=(x/2)/[x/2+x+(√3/2)x]

=(3-√3)/6

Answer 2

是直角三角形.
将△CNB绕点C旋转90°到△CN'A(A点旋转到B,N点旋转到N')
则△CNB≌△CN'A,
∴AN'=BN=n,N'C=NC,∠B=∠CAN'=45°,∠ACB=∠BCN,
∴∠N'AB=∠CAN'+∠CAB=∠B+∠CAB=90°,
∴△AN'M是直角三角形,
∵∠MCN=45°,
∴∠ACM+∠BCN=90°-45°=45°,
∴∠N'CM=45°=∠MCN,
∴△MN'C≌△MNC,
∴MN'=MN=x,
∴△AMN'的三边长分别为m,n,x,且N'AM是直角,
∴以x,m,n为边长的三角形是直角三角形.