Question

已知函数f(x)=ax^2+x-2(a属于R),g(x)=x^3+x^2+3x-2.

当x属于[1,3]时，不等式f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

令h(x)=g(x)-f(x)=x^3+(1-a)x^2+2x=x[x^2+(1-a)x+2]
在[1,3]，恒有h(x)>0
则x^2+(1-a)x+2>0
得：a<(x^2+x+2)/x=(x+2/x)+1=p(x)
因为x+2/x>=2√2,当x=2/x,即x=√2时取等号
所以p(x)>=2√2+1
因为a<p(x)，
所以a的取值范围是a<2√2+1

Answer 2

因为f(x)<g(x)
所以f(x)-g(x)=ax^2+x-2-(x^3+x^2+3x-2)=-x^3+(a-1)*x^2-2x<0
所以x(-x^2+(a-1)*x-2)<0
因为x属于[1,3] 所以 x>0
所以-x^2+(a-1)*x-2<0
所以 x^2-(a-1)*x+2>0
所以(x-(a-1)/2)^2>-2+(a-1)^2/4
所以 x-(a-1)/2>根号下(-2+(a-1)^2/4) 或 x-(a-1)/2 < - 根号下(-2+(a-1)^2/4)
所以 x >(a-1)/2+根号下(-2+(a-1)^2/4) 或 x <(a-1)/2-根号下(-2+(a-1)^2/4)