求函数y=x+x/(x^2一1)的拐点及凹凸区间
求解过程为:
第一步:y''=2x(x^2+3)(x^2-1)/(x^2-1)^4。
第二步:令y''=0,得x=0或x=1或x=-1。
第三步:y''>0 x>1或-1<x<0 y''<0 0<x<1或x<-1
所以拐点为(0,0) 在(-∞,-1)U(0,1)上是凸的,在(-1,0)U(1,+∞)上是凹的。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数,则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。
扩展资料:
拐点的求法
1、求f''(x);
2、令f''(x)=0,解出此方程在区间I内的实根,并求出在区间I内f''(x)不存在的点;
3、对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点 ,检查f''(x)在 左右两侧邻近的符号,那么当两侧的符号相反时,点( f( x))是拐点,当两侧的符号相同时,点( f( y))不是拐点。
凹凸性的意义:
从导数角度讲,设y=f(x)在(a,b)内具有二阶导数,如果在(a,b)内f''(x)>o,则y=f(x)在(a,b)内为下凸;如果在(a,b)内f''(x)<o,则y=f(x)在(a,b)内为上凸。
在研究函数图形的变化时,仅仅研究单调性并不能完全反映它的变化规律。函数虽然在区间[a,b]内单调递增,但却有不同的弯曲状况,从左到右,曲线先是向下凹,通过P点后改变了弯曲方向,曲线向上凸。
在研究函数的图形时,除了研究其单调性,对于它的弯曲方向及弯曲方向的改变点的研究也是很有必要的。
2016-11-18
y ′ = (x²-1-2x²)/(x²-1)²
= -(x²+1)/(x²-1)²
y ′′ = -2x/(x²-1)² + 2(x²+1)*2x/(x²-1)³
= {-2x(x²-1)+4x(x²+1)}/(x²-1)³
= {-2x³+2x+4x³+4x)}/(x²-1)³
= {2x³+6x)}/(x²-1)³
= 2x(x²+3) / {(x+1)³(x-1)³}
x=0时,y=0
拐点(0,0)
凸区间(-∞,-1),(0,1)
凹区间(-1,0),(1,+∞)
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