Question

求函数y=x+x/(x^2一1)的拐点及凹凸区间

Answer 1

求解过程为：

第一步：y''=2x(x^2+3)(x^2-1)/(x^2-1)^4。

第二步：令y''=0，得x=0或x=1或x=-1。

第三步：y''＞0 x＞1或-1＜x＜0 y''＜0 0＜x＜1或x＜-1

所以拐点为（0，0） 在（-∞，-1）U(0,1)上是凸的，在（-1，0）U(1,+∞）上是凹的。

若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

扩展资料：

拐点的求法

1、求f''(x)；

2、令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；

3、对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点  ，检查f''(x)在  左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(  f( x))是拐点，当两侧的符号相同时，点(  f( y))不是拐点。

凹凸性的意义：

从导数角度讲，设y=f(x)在(a，b)内具有二阶导数，如果在(a，b)内f''(x)>o，则y=f(x)在(a，b)内为下凸；如果在(a，b)内f''(x)<o，则y=f(x)在(a，b)内为上凸。

在研究函数图形的变化时，仅仅研究单调性并不能完全反映它的变化规律。函数虽然在区间[a，b]内单调递增，但却有不同的弯曲状况，从左到右，曲线先是向下凹，通过P点后改变了弯曲方向，曲线向上凸。

在研究函数的图形时，除了研究其单调性，对于它的弯曲方向及弯曲方向的改变点的研究也是很有必要的。

Answer 2

y = x + x/(x²-1)

y ′ = (x²-1-2x²)/(x²-1)²
= -(x²+1)/(x²-1)²

y ′′ = -2x/(x²-1)² + 2(x²+1)*2x/(x²-1)³
= {-2x(x²-1)+4x(x²+1)}/(x²-1)³
= {-2x³+2x+4x³+4x)}/(x²-1)³

= {2x³+6x)}/(x²-1)³

= 2x(x²+3) / {(x+1)³(x-1)³}

x=0时，y=0
拐点（0，0）

凸区间（-∞，-1），（0，1）
凹区间（-1，0），（1，+∞）

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示